Приклади практичних завдань для самостійного опрацювання

1). Нехай задано виробничу функцію фірми та ринкові ціни продукції і факторів виробництва – відповідно , умов. грош. од. Знайти комбінацію ресурсів , за якої фірма одержить максимальний прибуток.

Розв'язок:

Функція прибутку фірми

. (2.11)

Дослідимо її на екстремум. Запишемо необхідні умови існування локального екстремуму. Для цього знайдемо частинні похідні функції прибутку й прирівняємо їх до нуля:

Отже, точка є критичною.

Перевіримо достатні умови. Для цього знайдемо частинні похідні другого порядку та обчислимо їхні значення в точці :

, , ;

, , .

Оскільки

і

то точка – точка локального максимуму. Обчислимо максимальний прибуток фірми:

.

Відповідь: оптимальні ресурси фірми 1 ум.од., 4 ум.од., при такому оптимальному виборі ресурсів максимальний прибуток фірми складає 1 ум. грош.од.

2). Плановий відділ має розробити виробничу програму для двох цехів підприємства на наступний рік. Для кожного з цехів має бути вирішена окрема задача (номер задачі відповідає номеру цеха).

Задача 1. Функція обсягу випуску продукції першого цеху має вигляд , а функція витрат на ресурси і лінійна . Задача полягає у визначенні такого розподілу ресурсів за якого буде забезпечений обсяг випуску продукції другого цеху , а витрати будуть мінімальні. Вихідні данні: .

Задача 2. Другий цех випускає два види товарів з обсягами і . Ціни на ці товари становлять відповідно , умов. грош. од., а функція витрат , де . Скласти виробничу програму за якої цех отримає максимальний прибуток.

Розв’язок задачі 1. Оскільки за умовами завдання обсяг випуску є фіксованим ( ), то лінія рівня випуску продукції (ізокванта) є фіксованою. Лінію рівня витрат на рис. 4 можна наближати до нуля до тих пір поки вона має хоча б одну спільну точку з ізоквантою.

Рис. 2.12. Лінії рівня витрат і випуску

Граничне положення лінії це дотична до ізокванти в точці , яка визначається рівнянням:

.

Це рівняння треба розв’язувати сумісно з рівнянням ізокванти

.

Виразимо с цих рівностей змінну (враховуючи значення параметрів ; ) :

, . (2.12)

Лінії (рис. 2.12) дотикаються за умови: .

Визначимо з цієї рівності знаходимо:

. (2.13)

.

Відповідь: цех № 1 має бути забезпечений ресурсами і у кількості 1,285 ум. од.

Розв’язок задачі 2. Функція прибутку другого цеху є

.

Використовуємо необхідні умови локального екстремуму:

Розв’язком системи є критична точка . Перевіримо достатні умови локального екстремуму. Знайдемо значення частинних похідних другого порядку в точці : , , .

Обчислимо визначник: , .

Відповідь:

– точка локального максимуму. Максимальний прибуток, який отримає цех № 2, .

Висновки:

Розрахунки довели, що в плановому році підприємство має забезпечити наступні параметри виробництва:

Цех	Параметри виробництва
1
2