Питання для самоконтролю

1. Охарактеризуйте основні компоненти організаційної системи індивідуального стимулювання.

2. Сформулюйте математичні моделі систем стимулювання.

3. Наведіть графічну інтерпретацію розв’язку детермінованої задачі стимулювання другого роду.

4. Що відноситься до базових систем стимулювання.

5. Перелічите базові системи стимулювання в одноелементних детермінованих організаційних системах.

3. Охарактеризуйте стрибкоподібні, квазістрибкоподібні, компенсаторні, квазікомпенсаторні, пропорційні системи стимулювання системи стимулювання.

4. Охарактеризуйте системи стимулювання, які ґрунтуються на перерозподілі доходу, степеневі системи стимулювання.

5. Сформулюйте математичні моделі заробітної плати

Бібліографічний список до теми

[1], [4], [5], [6].

Тема 10. Моделі систем масового обслуговування

Мета: опрацювання питань згідно запропонованого плану вивчення теми, застосування моделей систем масового обслуговування.

План вивчення теми

1. Означення системи масового обслуговування. Блок обслуговування потоку заявок, черга заявок. Одноканальна система. Багатоканальна система. Однофазні й багатофазні системи масового обслуговування.

2. Коефіцієнт простою системи. Середнє число клієнтів у системі. Середня довжина черги. Середній час перебування клієнта в системі. Час перебування клієнта в черзі.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Структура і класифікація систем масового обслуговування

Деколи виникає необхідність у вирішенні імовірнісних завдань, пов'язаних з роботою систем масового обслуговування (СМО), прикладами яких можуть служити квиткові каси, ремонтні майстерні, торгові, транспортні, енергетичні системи, системи зв'язку та ін. Спільність таких систем виявляється в єдності математичних методів і моделей, що застосовуються при дослідженні їх діяльності.

На вхід в СМО надходить потік вимог на обслуговування. Наприклад, клієнти або пацієнти, поломки в обладнанні, телефонні виклики. Вимоги надходять нерегулярно, у випадкові моменти часу. Випадковий характер носить і тривалість обслуговування. Це створює нерегулярність в роботі СМО, служить причиною її перевантажень чи недовантаження. Системи масового обслуговування мають різної структури, але звичайно в них можна виділити чотири основних елементу: вхідний потік вимог, накопичувач, канали обслуговування, потік, що виходить.

Залежно від правил утворення черги розрізняють такі СМО:

1) системи з відмовами, в яких при зайнятості всіх каналів обслуговування заявка залишає систему, яка є необслугованою;

2) системи з необмеженою чергою, в яких заявка встає в чергу, якщо в момент її надходження всі канали обслуговування були зайняті;

3) системи з очікуванням і обмеженою чергою, в яких час очікування обмежений будь-якими умовами або існують обмеження на кількість заявок, що стоять в черзі.

Розглянемо характеристики вхідного потоку вимог.

Означення 1. Потік вимог називається стаціонарним, якщо ймовірність попадання того чи іншого числа подій на проміжок часу певної довжини залежить тільки від довжини цього проміжку.

Означення 2. Потік подій називається потоком без наслідків, якщо число подій, які потрапляють на деякий промижок часу, не залежить від числа подій, що потрапляють на інші.

Означення 3. Потік подій називається ординарним, якщо неможливо одночасний наступ двох або більше подій.

Означення 4. Потік вимог називається пуассоновським (або найпростішим), якщо він володіє трьома властивостями: стаціонарний, ординарний і не має наслідків.

Назва пов'язана з тим, що при виконанні зазначених умов число подій, які потрапляють на будь-який фіксований інтервал часу, буде розподілений за законом Пуассона.

Означення 5. Інтенсивністю потоку заявок називається середнє число заявок, що надходять з потоку за одиницю часу.

Для стаціонарного потоку інтенсивність постійна. Якщо - середнє значення інтервалу часу між двома сусідніми заявками, то .

У випадку пуассонівського потоку ймовірність надходження на обслуговування заявок за проміжок часу визначається за законом Пуассона:

.

Час між сусідніми заявками розподілено по експоненціальним законом з щільністю ймовірності . Час обслуговування є випадковою величиною і підпорядковується показовому закону розподілу з щільністю ймовірності , де – інтенсивність потоку обслуговування, тобто середнє число заявок, що обслуговуються в одиницю часу, .

Означення 6. Відношення інтенсивності вхідного потоку до інтенсивності потоку обслуговування називається завантаженням системи .

Завантаження - це середня кількість заявок, що приходять за середній час обслуговування однієї заявки.

Марківський випадковий процес

Система масового обслуговування являє собою систему дискретного типу з кінцевою або рахунковою множиною станів, а перехід системи з одного стану в інший відбувається стрибком, коли здійснюється якась подія.

Процес називається процесом з дискретними станами, якщо його можливі стани можна заздалегідь перенумерувати, і перехід системи зі стану в стан відбувається практично миттєво. Такі процеси бувають двох типів: з дискретним або безперервним часом. У випадку дискретного часу переходи зі стану в стан можуть відбуватися в строго визначенні моменти часу. Процеси з неперервним часом відрізняються тим, що перехід системи в новий стан можливий у будь-який момент часу.

Визначення 7. Випадковий процес називається марківським, якщо для будь-якого моменту часу імовірнісні характеристики процесу в майбутньому залежать тільки від його стану в даний момент та не залежать від того, коли і як система прийшла в цей стан

Переходи системи зі стану в стан відбуваються під дією якихось потоків подій (потік заявок, потік відмов). Якщо всі потоки подій, що переводять систему в новий стан, - найпростіші пуассонівськи, то процес, що протікає в системі, буде марківським, так як найпростіший потік не має наслідків: у ньому майбутнє не залежить від минулого.

СМО з відмовами

У системах з відмовами заявка, що надійшла в момент, коли всі канали обслуговування зайняті, негайно отримує відмову, залишаючи систему і в подальшому процесі обслуговування не бере участь.

Є каналів обслуговування, на які надходить потік заявок з інтенсивністю . Потік обслуговуванні має інтенсивність (величина, зворотна середньому часу обслуговування ). Потрібно знайти ймовірності станів СМО і характеристики її ефективності. Так як обидва потоку - заявок та звільнень - найпростіші, процес, що протікає в системі, буде марківським. Розглянемо її як систему з кінцевим безліччю станів:

-вільні всі канали;

- зайнятий рівно один канал;

…

- зайняті каналів;

- зайняті всі каналів.

Через позначимо ймовірність того, що в момент часу система буде знаходитися в стані . Для будь-якого .

Потрібно визначити ймовірності станів системи для будь-якого моменту часу .

Складемо диференціальні рівняння для всіх ймовірностей. Почнемо з Зафіксуємо момент часу , дамо мале прирощення і знайдемо ймовірність того, що в момент система знаходиться в стані . Це може відбутися двома способами: або в момент система перебувала в стані , а за минулий час не вийшла з нього, або в момент система знаходилася в стані , а за час перейшла в стан . Імовірність першого способу знайдемо за теоремою множення ймовірностей. Імовірність того, що в момент система була в стані , дорівнює , ймовірність того, що за час не прийде ні однієї заявки, дорівнює . Імовірність першого способу дорівнює .

Знайдемо -ймовірність другого способу. Імовірність того, що в момент система була в стані , дорівнює . Імовірність того, що за час канал звільниться, дорівнює . Ймовірність другого способу складе . По теоремі складання ймовірностей .

Звідси отримаємо диференціальне рівняння для :

.

Аналогічно складаються диференціальні рівняння для ймовірностей інших станів. Нехай .

Знайдемо - імовірність того, що в момент система буде у стані . Ця ймовірність обчислюється як ймовірність суми трьох подій:

1) в момент система була в стані і не вийшла з нього за час ;

2) у момент система була в стані , а за час перешли в стан ;

3) у момент система була в стані , а за час перешли в стан .

Тоді

.

Диференціальне рівняння для :

.

Рівняння для ймовірності :

.

Отримано систему рівнянь для ймовірностей:

Ці рівняння називаються рівняннями Ерланга.

Що буде відбуватися з ймовірностями станів при ? Чи будуть ймовірності прагнути до кінцевих меж? Якщо ці межі існують і не залежать від початкового стану системи, то їх називають фінальними ймовірностями станів. У теорії випадкових процесів доводиться, що якщо число станів системи звичайно і з кожного з них за кінцеве число кроків можна перейти в будь-яке інше, то фінальні ймовірності існують. При в системі встановлюється граничний стаціонарних режим, в ході якого система змінює свої стани випадковим чином, але їх ймовірності вже не залежать від часу. Фінальну ймовірність стану можна витлумачити як середній відносний час перебування системи в цьому стані. Якщо фінальні ймовірності постійні, то їх похідні дорівнюють нулю. Щоб знайти фінальні ймовірності, замінимо в системі диференціальних рівнянь все ймовірності їх границями , а всі похідні вважаємо рівними нулю. Отримуємо систему алгебраїчних рівнянь:

Для цих ймовірностей виконується умова .

Вводимо позначення і розв'яжемо систему відносно невідомих ймовірностей:

Використовуючи умову , отримаємо ,

звідси , отримуємо фінальні ймовірності

.

Отримані формули називають формулами Ерланга. Ці формули дозволяють одержати показники ефективності роботи СМО.

Імовірність простою каналів обслуговування, коли немає заявок, виходить з формул Ерланга для фінальних ймовірностей:

. (2.62)

Вимога, що надходить у систему, отримує відмову у тому випадку, коли всі вузли обслуговування зайняті. Тому ймовірність відмови

. (2.63)

Звідси знаходимо відносну пропускну здатність, тобто середню частку заявок, які надійшли та обслуговуються системою, - імовірність того, що заявка буде обслужена:

. (2.64)

Абсолютну пропускну здатність, тобто середнє число заявок, що обслуговуються в одиницю часу, отримаємо, помножуючи інтенсивність потоку заявок на відносну пропускну здатність:

. (2.65)

Абсолютна пропускна здатність - це інтенсивність потоку заявок, що обслужеі системою, а кожен зайнятий канал в одиницю часу обслуговує в середньому заявок. Таким чином, середнє число зайнятих каналів дорівнює

. (3.66)

Частка каналів, що зайняті обслуговуванням:

. (2.67)

СМО з необмеженим очікуванням

Нехай є - канальна СМО з чергою, на яку не накладено обмежень ні по довжині черги, ні за часом сподівання. У силу необмеженості черги кожна заявка рано чи пізно буде обслужена, тому , .

Для СМО з необмеженою чергою накладається обмеження . Якщо цю умову порушено, то черга зростає до нескінченності, наступає явище «вибуху».

Імовірність простою каналів

. (2.68)

Імовірність зайнятості обслуговуванням каналів

. (2.69)

Імовірність зайнятості обслуговуванням всіх каналів при відсутності черги

. (2.70)

Імовірність наявності черги є ймовірність того, що кількість вимог в системі більше числа каналів:

. (2.11)

Імовірність для заявки потрапити в чергу є ймовірність зайнятості всіх каналів, ця ймовірність дорівнює сумі ймовірностей наявності черги і зайнятості всіх каналів при відсутності черги:

. (2.72)

Середнє число зайнятих обслуговуванням каналів

. (2.73)

Частка каналів, які зайняті обслуговуванням,

. (2.74)

Середнє число заявок в черзі (довжина черги)

. (2.75)

Середнє число заявок у системі

. (2.76)

Середній час очікування заявки в черзі

. (2.77)

Середній час перебування заявки в системі

, . (2.78)

СМО з очікуванням і обмеженою довжиною черги

Є - канальна система з очікуванням, в якій кількість заявок, що стоять в черзі, обмежена числом , тобто заявка, яка застала всі канали зайнятими, стає в чергу, тільки якщо в ній знаходиться менше заявок. Якщо число заявок в черзі дорівнює , то остання заявка, що прибула, в чергу не стає і покидає систему не обслуженою.

Системи з обмеженою чергою є узагальненням двох розглянутих раніше СМО: при =0 одержуємо СМО з відмовами, при – СМО з очікуванням.

Імовірність простою каналів

. (2.79)

Імовірність відмови в обслуговуванні дорівнює ймовірності того, що в черзі вже стоять заявок:

. (2.80)

Відносна пропускна здатність є величина, яка доповнює ймовірність відмови до 1, тобто ймовірність обслуговування

. (2.81)

Абсолютна пропускна здатність визначається рівністю

. (2.82)

Середнє число зайнятих каналів

. (2.83)

Середня довжина черги, тобто середнє число заявок в черзі

. (2.84)

Середній час очікування обслуговування в черзі

. (2.85)

Середнє число заявок в СМО

. (2.86)

Середній час перебування заявки в СМО

, . (2.87)

Замкнуті СМО

До цих пір ми розглядали системи, в яких вхідний потік ніяк не пов'язаний з виходять. Такі системи називаються розімкнутими. У деяких же випадках обслужених вимоги після затримки знову надходять на вхід. Такі СМО називаються замкненими. Поліклініка, що обслуговує дану територію, бригада робітників, закріплена за групою верстатів, є прикладами замкнутих систем.

У замкнутої СМО циркулює один і той же кінцеве число потенційних вимог. Поки потенційне вимога не реалізувалося в якості вимоги на обслуговування, вважається, що воно знаходиться в блоці затримки. У момент реалізації воно надходить в саму систему. Наприклад, робочі обслуговують групу верстатів. Кожен верстат є потенційним вимогою, перетворюючись на реальне в момент свого поломки. Поки верстат працює, він знаходиться в блоці затримки, а з моменту поломки до моменту закінчення ремонту – у самій системі. Кожен робочий є каналом обслуговування.

Нехай – число каналів обслуговування, - число потенційних заявок, , – інтенсивність потоку заявок кожного потенційного вимоги, – інтенсивність обслуговування .

Імовірність простою системи визначається формулою

. (2.88)

Фінальні ймовірності станів системи

при , при . (2.89)

Через ці ймовірності виражається середнє число зайнятих каналів

або

. (2.90)

Через знаходимо абсолютну пропускну здатність системи

, (2.91)

а також середнє число заявок в системі

. (2.92)