Питання для самоконтролю

1. Сформулюйте основні положення щодо побудови виробничої функції.

2. Надайте характеристику виробничої функції Кобба-Дугласа.

3. Які методи та методики використовуються по розробці оптимального рівня оплати праці на підприємстві?

4. У чому полягає математичне моделювання оптимізації оплати праці на підприємстві?

5. Як впливають сезонні коливання на величину заробітної плати? Як цей факт враховується при побудові математичної моделі?

Бібліографічний список до теми

[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7].

Тема 9. Базові системи стимулювання

Мета: опрацювання питань згідно запропонованого плану вивчення теми, застосування моделей і методів базових систем стимулювання.

План вивчення теми

1. Формальний аналіз індивідуального стимулювання. Вибір допустимої системи стимулювання, яка має максимальну ефективність. Пошук множини систем стимулювання з мінімальними витратами.

2. Математичні моделі заробітної плати.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Формальний аналіз індивідуального стимулювання

Розглянемо організаційну систему (ОС), що складається з одного керуючого органу – центра – на верхньому рівні ієрархії й одного керованого суб'єкта – агента – на нижньому рівні. Учасники організаційної системи (центр і агент) мають властивість активності, тобто здатність самостійного вибору дій (стратегій).

Стратегією агента є вибір дії у, що належить множині допустимих дій : . Дією агента може бути кількість годин, що відпрацьовуються, обсяг виготовленої продукції тощо. Множина допустимих дій є набором альтернатив, із яких агент виконує свій вибір, наприклад, діапазон можливої тривалості робочого часу, невід'ємний та який не перевищує технологічних обмежень обсяг виробництва тощо.

Стратегією центра є вибір функції стимулювання , яка належить допустимій множині : і яка ставить у відповідність дії агента певну невід’ємну винагороду, що виплачується центром. Множина допустимих винагород може обмежуватися як законодавчо (наприклад, як мінімальним розміром оплати праці), так і розуміннями економічної ефективності діяльності центра, тарифно-кваліфікаційними вимогами до оплати праці даного агента і т.п.

Вибір дії вимагає від агента витрат і приносить центру дохід . Інтереси учасників організаційної системи (центра та агента) відображаються їхніми цільовими функціями відповідно і (функціями виграшу, корисності і т.п.), які представляють: для агента – різницю між стимулюванням і витратами:

, (2.31)

і для центра – або дохід від діяльності агента (задача стимулювання першого роду):

, (2.32)

або різницю між доходом і витратами центра на стимулювання – винагородою, виплачуваною агентові (задача стимулювання другого роду чи детермінована задача теорії контрактів):

. (3.33)

Введемо ряд означень.

Механізмом функціонування організаційної системи називається сукупність правил, законів і процедур, які регламентують взаємодію учасників системи. Механізмом стимулювання називається правило прийняття рішень центром щодо стимулювання агента. Механізм стимулювання містить систему стимулювання, яка може бути визначеною функцією стимулювання. Надалі при побудові моделей терміни "механізм стимулювання", "система стимулювання" і "функція стимулювання" вживаються як синоніми.

Після того, як ввели цільові функції, що відображають переваги учасників організаційної системи, доцільно обговорити різницю в описі морального і матеріального стимулювання. Наявність скалярної цільової функції передбачає існування єдиного еквівалента, в якому виміряються всі компоненти цільових функцій (витрати агента, дохід центра і, природно, самостимулювання).

У випадку коли мова йде про матеріальну винагороду агента, таким еквівалентом є гроші. Інтерпретації доходу центра при цьому очевидні. Складніше справа йде із витратами агента, адже не завжди можна адекватно виразити в грошових одиницях, наприклад, задоволення агента роботою і т.п.

З економічної точки зору витрати агента можна інтерпретувати як грошовий еквівалент тих зусиль, які агент повинен витратити для виконання тієї чи іншої дії. В рамках такої інтерпретації цілком природно виглядає ідея компенсації витрат – винагорода з боку центра повинна, як мінімум, компенсувати витрати агента.

Якщо витрати агента вимірюються в певних одиницях «корисності» (яка враховує, наприклад, фізичну втому, моральне задоволення від результатів праці тощо), відмінних від грошових одиниць, то для можливості додавати чи віднімати корисності при введенні цільової функції типу (3.21) необхідно визначити корисність винагороди. Наприклад, якщо використовується матеріальне стимулювання, то можна ввести функцію корисності , яка відображала б корисність грошей для розглядуваного агента. Цільова функція агента при цьому набирає вигляду:

.

Введемо ряд припущень.

А. 1. Множина допустимих дій агента є невід'ємними дійсними числами (кількість відпрацьованих годин, обсяг виготовленої продукції тощо).

А.2. Функція витрат агента не є спадною. Звідси випливає, що вибір великих дій вимагає не менших витрат, наприклад, витрати можуть зростати зі зростанням обсягу продукції, яка випускається.

А.2'. Функція витрат агента неперервна, витрати від вибору нульової дії дорівнюють нулю. З цього припущення випливає, що крім зростання витрат, "нульова" дія (відсутність діяльності агента) не вимагає витрат.

А.2". Функція витрат агента неперервно диференційована, опукла і має в нулі нульове значення похідної. Припущення А.2" додатково вимагає, аби витрати змінювалися досить плавно, причому граничні витрати зростають зі зростанням дії, тобто кожний наступний приріст дії на ту саму величину вимагає все більших витрат. При цьому слід зазначити, що на сьогоднішній день ні в економіці, ні в психології, ні в теорії управління не існує задовільних методів побудови подібних функцій корисності. Крім того, необхідно підкреслити, що згадана функція корисності не має явного відношення до аксіоматики фон‑Неймана і функцій корисності, які відображають відношення агента до ризику у ймовірнісних задачах стимулювання.

А.3. – множина додатнозначних кусково-неперервних функцій.

А.3'. – множина додатнозначних кусково-неперервних функцій, обмежених зверху .

Припущення А.3 і А.3' накладають обмеження на можливі залежності винагороди агента від його дії – ці залежності повинні бути або "не дуже" розривними (припущення А.3), або, на додаток, обмежені зверху (припущення А.3'). Величина (обмеження механізму стимулювання) може інтерпретуватися як фонд заробітної плати.

А.4. Функція доходу центра неперервна і . Це припущення накладає мінімальні обмеження на функцію доходу центра, вимагаючи, аби при виборі агентом нульової дії (яка через припущення А.2' вимагає від останнього нульових витрат, тобто відповідає відсутності взаємодії з центром) центр не мав доходу, але й не мав збитків.

Раціональна поведінка учасника організаційної системи полягає в максимізації вибором стратегії цільової функції з урахуванням усієї наявної інформації.

Визначимо інформованість гравців і порядок функціонування. Будемо вважати, що на момент ухвалення рішення (вибору стратегії) учасникам організаційної системи відомі всі цільові функції і всі допустимі множини. Специфіка теоретико-ігрової задачі стимулювання полягає в тому, що в ній фіксований порядок ходів. Центр – метагравець – має право першого ходу, повідомляючи агенту вибрану ним функцію стимулювання, після чого при відомій стратегії центра агент вибирає свою дію, яка максимізує його цільову функцію.

В економіці граничними витратами прийнято називати похідну функції витрат.

Інформованістю гравця називається та інформація, яку він має на момент прийняття рішень. Порядком функціонування називається послідовність одержання інформації і вибору стратегій учасниками організаційної системи.

Приклад 1. Розглянемо спрощену модель трудового контракту, який укладається між працівником (агентом) і певною організацією (центром), який є, як правило, документом, у якому відображене таке: центр зобов'язується забезпечити умови роботи і виплатити винагороду, прямо або опосередковано залежну від результатів діяльності (дій) агента. Крім цього, в контракті обумовлюються права та обов'язки працівника, в тому числі – які дії він може і зобов'язується виконувати і т.п.

Таким чином, стратегією центра є вибір системи стимулювання, стратегією агента – вибір дії. Умови контракту (його зміст) відомі обом сторонам. Інформованість учасників така. На момент прийняття рішень про встановлювану систему стимулювання для того чи іншого працівника центр має певну інформацію про те, які дії цей працівник може виконувати (множину його допустимих (можливих) дій) і про переваги працівника (його цільової функції) на цій множині. Крім цього, центрові, безумовно, відомі власні переваги та обмеження на множині допустимих функцій стимулювання. Агент на момент ухвалення рішення про те, яку дію йому варто виконати, знає свої переваги і множину своїх можливих дій, а також вибрану центром систему стимулювання, тобто функціональну залежність винагороди від дій. Порядок функціонування такий: складається контракт, потім працівник виконує свою дію, після чого відбуваються виплати.

Оскільки значення цільової функції агента залежить як від його власної стратегії – дії, так і від функції стимулювання, то в рамках прийнятої гіпотези раціональної поведінки агент буде виконувати дії, які при заданій системі стимулювання максимізують його цільову функцію. Зрозуміло, що множина таких дій, яка називається множиною реалізованих дій, залежить від використовуваної центром системи стимулювання. Основна ідея стимулювання саме й полягає в тому, аби, варіюючи систему стимулювання, центр міг спонукати агента виконати ті чи інші дії.

Оскільки цільова функція центра залежить від дії, вибраної агентом, то ефективністю системи стимулювання називається максимальне або мінімальне значення цільової функції центра на множині дій агента, реалізоване даною системою стимулювання.

Отже, задача стимулювання полягає в тому, аби вибрати оптимальну систему стимулювання, тобто систему стимулювання, яка має максимальну ефективність. Наведемо формальні означення. Множина дій агента, яка забезпечує максимум його цільовій функції, називається множиною рішень гри або множиною дій, реалізованих даною системою стимулювання:

(2.34)

Знаючи, що агент вибирає дії з множини (3.24), центр повинен знайти систему стимулювання, яка максимізувала б його власну цільову функцію. Оскільки множина може містити більше однієї точки, необхідно довизначити (з погляду припущень центра про поведінку агента) вибір агента. Якщо виконано гіпотезу доброзичливості, яка, будемо вважати, має місце, то агент вибирає з множини (2.34) найбільш сприятливу для центра дію. Альтернативою для центра є розрахунок на найгірший для нього вибір агента з множини розв'язків гри.

Гіпотеза доброзичливості полягає в наступному: якщо агент байдужий між вибором декількох дій (наприклад, дій, на яких досягається глобальний максимум його цільової функції), то він вибирає з цих дій ту, яка найбільш сприятлива для центра, тобто дію, яка надає максимум цільовій функції центра.

Відповідно, розрізняють ефективність системи стимулювання :

(2.35)

і її гарантовану ефективність

, (2.36)

де визначається або із (2.32), або із (2.33) (відповідно, до задачі стимулювання першого чи другого роду).

Пряма задача синтезу оптимальної системи стимулювання полягає у виборі допустимої системи стимулювання, яка має максимальну ефективність (або максимальну гарантовану ефективність):

; (2.37)

. (2.38)

Відзначимо, що розв'язки задач (2.37) і (2.38) у загальному вигляді не збігаються.

Обернена задача стимулювання полягає у пошуку множини систем стимулювання, які реалізують задану дію, або в більш загальному випадку - задану множину дій . Наприклад, у рамках допущення А.3' при обернена задача може полягати в пошуку множини систем стимулювання, які реалізують цю дію, тобто . Визначивши , центр має можливість знайти в цій множині "мінімальну" систему стимулювання, тобто реалізуючу задану дію з мінімальними витратами на стимулювання, або систему стимулювання, якій притаманні якісь інші задані властивості, наприклад – монотонність, лінійність і т.п.

Варто зазначити, що введені припущення погоджені в такому розумінні. Агент завжди може вибрати нульову дію, яка не вимагає від нього витрат (припущення А.2’) і яка приносить нульовий дохід центру (припущення А.4). В той же час, центр має можливість нічого не платити агенту за вибір цієї дії (припущення А.3).

В усіх змістовних інтерпретаціях теоретико-ігрових моделей стимулювання передбачається, що в агента є альтернатива зберегти статус-кво, тобто не вступати у взаємини з центром (не укладати трудового контракту). Відмовляючись від участі в даній організаційній системі, агент не одержує винагороди від центра і завжди має можливість вибрати нульову дію, забезпечивши собі не додатне (точніше – нульове) значення цільової функції.

Якщо поза даною організаційною системою агент може гарантовано одержати корисність (обмеження допомоги з безробіття або обмеження резервної заробітної плати в термінології теорії контрактів), то і при участі в даній організаційній системі йому повинен бути гарантований не менший рівень корисності.

Зробивши маленький відступ, обговоримо більш детально модель процесу прийняття рішень агентом. Вважаємо, що якийсь агент прагне влаштуватися на роботу на певне підприємство. Йому пропонується контракт , у якому обумовлюється залежність винагороди від результатів його діяльності , а також те, які конкретні результати від нього очікуються . При яких умовах агент підпише контракт, якщо обидві сторони – і агент, і підприємство (центр) – приймають рішення про підписання контракту самостійно і добровільно? Розглянемо спочатку принципи, якими може керуватися агент.

Перша умова – умова погодженості стимулювання, яка полягає в тому, що при участі в контракті вибір саме дії (а не якоїсь іншої допустимої дії) доставляє максимум його цільовій функції (функції корисності). Іншими словами, це умова того, що система стимулювання погоджена з інтересами і перевагами агента.

Друга умова – умова участі в контракті (іноді її називають умовою індивідуальної раціональності), яка полягає в тому, що, укладаючи даний контракт, агент очікує одержати корисність, більшу, ніж він міг би одержати, уклавши інший контракт на іншому підприємстві (з іншим центром). Уявлення агента про свої можливі доходи на ринку праці відображає резервна заробітна плата. Зупинимося на цьому понятті більш докладно.

Нехай агент (безробітний або особа, що збирається змінити роботу) має свої суб'єктивні уявлення про розподіл пропонованої на ринку праці заробітної плати (або ставки заробітної плати). Позначимо щільність цього розподілу ймовірності , – рівень кваліфікації даного агента. Гіпотетична крива розподілу наведена на рисунку 2. 23.

Рис. 2.23. Резервна, очікувана та максимальна заробітна плата

Зрозуміло, що в середньому більш високій кваліфікації відповідає більш висока оплата. Якби агент мав повну інформацію про вимоги до кваліфікації, які пропонуються на ринку праці для одержання відповідної заробітної плати, і якби достовірна інформація про його кваліфікацію була доступною всім потенційним роботодавцям (центрам), то він був би, фактично, позбавлений вибору і погоджувався б на існуючий однозначний ринковий рівень заробітної плати , що відповідає його кваліфікації. Вся проблема полягає в тому, що інформація про ринок праці недосконала, тобто і агент, і центр діють в умовах неповної інформованості.

Нехай агент має свої суб’єктивні уявлення про мінімальний рівень заробітної плати , за якої він згодний працювати при його кваліфікації. Величина називається резервною заробітною платою. Тоді процес пошуку роботи можна уявити так: одержуючи інформацію про пропоновані умови роботи і її оплати, агент погоджується з першою пропозицією, яка перевищує його резервну заробітну плату (у випадку зміни роботи за резервну заробітну плату може виступати, наприклад, величина зарплати на старому місці роботи або величина допомоги з безробіття і т.п.).

Оскільки одержання заробітної плати, більшої за , для даного агента неможливе (тому величина іноді називається максимальною заробітною платою), то очікувана заробітна плата буде дорівнювати такій величині:

.

Повернемося до аналізу умов взаємовигідності укладання трудового контракту.

Аналогічні наведеним для агента умови погодженості та індивідуальної раціональності можна сформулювати для центра. Якщо є єдиний агент –претендент на укладання контракту, то контракт буде вигідним для центра, коли виконані дві умови.

Перша умова відображає погодженість системи стимулювання з інтересами і перевагами центра, тобто застосування фігуруючої в контракті системи стимулювання повинне доставляти максимум цільовій функції (функції корисності) центра (порівняно з використанням будь-якої іншої допустимої системи стимулювання).

Друга умова для центра аналогічна умові участі для агента, а. саме –укладання контракту з даним агентом вигідно для центра порівняно зі збереженням статус-кво, тобто відмовленню від укладання контракту взагалі. Наприклад, коли вважати, що прибуток підприємства (значення цільової функції центра) без укладання контракту дорівнює нулю, то при укладанні контракту прибуток повинен бути невід'ємним.

Якісно обговоривши умови укладання взаємовигідного трудового контракту, повернемося до формального аналізу.

Легко бачити, що в рамках введених допущень при участі агента в розглянутій організаційній системі йому гарантується мінімальне нульове значення корисності. Умова невід'ємності корисності агента:

якщо то (2.39)

є "умовою участі" або "умовою індивідуальної раціональності". Отже, як мінімум, реалізованими будуть такі дії, при виборі яких значення цільової функції агента будуть невід'ємними:

. (2.40)

З цього випливає, що вибір величини витрат від нульової дії агента та обмежень в умовах індивідуальної раціональності може бути виконаний відносно довільно, щоправда, при погодженні з умовою індивідуальної раціональності та обмеженнями на стимулювання.

Пояснимо останнє твердження. Більш коректно (тобто з урахуванням умови індивідуальної раціональності) множину реалізованих дій варто визначити як множину таких точок максимуму цільової функції агента, в яких виконується умова індивідуальної раціональності:

. (2.41)

Розглянемо двох агентів. Нехай витрати першого агента задовольняють припущення А.2', а втрати другого агента всюди на ту саму величину (додатну чи від'ємну, причому, як правило, вважають, що ) відрізняються від витрат першого агента, тобто (величина іноді називається індивідуальним нулем корисності). Позначимо і – відповідні множини реалізованих дій при одних і тих же обмеженнях на стимулювання. Якщо певна дія належить множині , то вона належить і множині , і навпаки, що випливає безпосередньо з означення (2.40) реалізованої дії – відповідних систем нерівностей, які називаються "умовами узгодження":

якщо то , (2.42)

і не змінюються від додавання до обох частин константи (рис. 3.13, на якому - обмеження механізму стимулювання, - права межа множини реалізованих дій).

Рис. 2.24. Інваріантність множини реалізованих дій відносно

“зрушення” функції витрат агента

Складнішим залишається питання щодо індивідуальної раціональності. Якщо розуміти під множиною реалізованих дій (2.41), то (2.40) отримає вигляд

.

Зрозуміло, що для того, аби зміна обмеження індивідуальної раціональності і "вертикальне зрушення" витрат не змінювали множину , варто змінювати використовувану центром систему стимулювання так: додати до неї відповідну константу і/або ). При цьому треба мати на увазі, що при фіксованих обмеженнях на функцію стимулювання збільшення, наприклад, величини може призвести до звуження множини реалізованих дій (припущення А.3).

Таким чином, справедливе наступне твердження.

Твердження 1. Всі агенти, функції витрат і/або резервні зарплати яких відрізняються на одну й ту ж величину, еквівалентні з погляду умов реалізованості за умови відповідних змін механізму стимулювання.

Отже, врахування змін індивідуального нуля корисності агента ("зрушення" його витрат по вертикалі) і врахування змін обмежень індивідуальної раціональності призводять до незначної, легко виконуваної в кожному конкретному випадку, модифікації основних характеристик задачі стимулювання (множини реалізованих дій, обмежень на фонд заробітної плати і т.п.). Тому в подальшому будемо вважати, що , і обмежимося введеними припущеннями, в рамках яких умову індивідуальної раціональності можна не враховувати.

Повернемося до аналізу задачі синтезу оптимальної функції стимулювання.

Той факт, що реалізованими є ті дії, які щонайменше забезпечують агентові невід'ємну корисність, істотно спрощує аналіз задачі стимулювання. Фіксуємо довільну дію агента і розглянемо таку систему стимулювання:

, (2.43)

яка називається квазікомпенсаторною ( - типу).

Очевидно, що . Якщо виконується припущення А.3, тобто на абсолютні значення заохочень не накладено ніяких обмежень, то дія реалізується системою стимулювання (2.43) (іншими словами, в рамках А.3 реалізується будь-яка допустима дія агента). Якщо ж виконане припущення А.3^’, то повинне виконуватися:

.

Позначимо максимальну множину дій, які реалізуються при заданих обмеженнях:

. (2.44)

В рамках припущення А.3' виконано: (рис. 2.24), де .

Оскільки в означенні ефективності системи стимулювання максимум обчислюється на множині реалізованих дій, то чим ширша ця множина, тим більше відповідне максимальне значення. Отже, з розширенням множини реалізованих дій збільшується ефективність стимулювання. Іншими словами, якщо одна система стимулювання (точніше – клас систем стимулювання) має більш широку множину реалізованих дій, ніж інша система стимулювання (інший клас систем стимулювання), то й ефективність першої системи стимулювання вища, ніж другої. Отже, максимальну ефективність має клас систем стимулювання, який має максимальну множину реалізованих дій.

З цього випливає, що розв'язування задачі стимулювання можна поділити на два етапи. На першому етапі розв'язується задача узгодження – визначаються множини реалізованих при заданих обмеженнях дій. На другому етапі розв'язується задача оптимального погодженого планування - відшукується реалізована дія, найкраща з погляду центра. Подібна ідеологія розв'язування задачі управління організаційними системами широко використовується в теорії активних систем і в теорії контрактів.

З того, що система стимулювання -типу має максимальну множину реалізованих дій, випливає, що вона є розв'язком задачі синтезу оптимальної функції стимулювання в прямій задачі стимулювання першого роду.

Відзначимо, що вираз (3.33) задає параметричний (параметр ) клас систем стимулювання. Тому твердження про оптимальність тих чи інших систем стимулювання (класів систем стимулювання, у даному випадку – квазікомпенсаторних) варто розуміти так: існує значення параметра, при якому функція стимулювання із заданого класу має максимальну на множині ефективність.

Знаючи, що оптимальну систему стимулювання варто шукати в класі квазікомпенсаторних, а також те, що при використанні системи стимулювання агент вибирає дію, яка збігається з дією , центр може "забути" про умови узгодження і розв'язувати задачу оптимального погодженого планування, тобто шукати реалізуючу дію агента, яка максимізує дохід або цільову функцію центра:

. (2.45)

В оптимальній (що максимізує ефективність) квазікомпенсаторній системі стимулювання параметр у* є розв'язком задачі (2.45).

В задачах стимулювання першого роду оптимальними виявляються не тільки квазікомпенсаторні системи стимулювання, а й компенсаторні, стрибкоподібні і квазістрибкоподібні.

Квазікомпенсаторні системи стимулювання реалізують дії з мінімальними витратами на стимулювання: , тобто , тому вони є оптимальними в задачах стимулювання другого роду. Задача оптимального погодженого планування в цьому випадку полягає в пошуку реалізуючої дії агента, яка максимізує різницю між доходом центра і мінімальними витратами на стимулювання, які збігаються в розглядуваній моделі з витратами агента:

. (2.46)

Якщо відсутні обмеження на величину винагороди агента (припущення А.3), то максимуми в (2.45) і (2.46) варто знаходити для всієї множини допустимих дій агента.

При використанні систем стимулювання ( -типу центр компенсує витрати агента при виборі зазначеної дії, не виплачуючи ніякої винагороди при виборі агентом інших дій, тобто квазікомпенсаторні системи стимулювання погоджені з умовою індивідуальної раціональності: при їх використанні корисність агента дорівнює нулю принаймні у двох точках – при виборі реалізованої дії і нульової дії, причому корисність агента ніде не набуває строго додатних значень.

Істотним "плюсом" квазікомпенсаторних систем стимулювання є їх простота і висока ефективність, істотним "мінусом" – абсолютна нестійкість відносно можливих збуджень параметрів моделі. Дійсно, якщо центр неточно знає функцію витрат агента, то як завгодно мала неточність може призвести до значних змін реалізованих дій.

Уміючи розв'язувати пряму задачу стимулювання, досить просто знайти розв'язок відповідної оберненої задачі. Наприклад, вираз (2.44) дозволяє визначити мінімальні обмеження на стимулювання, які дозволяють реалізовувати задані дії.

Якщо одна й та ж дія може реалізовуватися декількома системами стимулювання, то, мабуть, що більшу ефективність має та з них, яка характеризується меншими витратами на стимулювання. Іншими словами, оптимальним є клас систем стимулювання, який реалізує будь-яку дію агента з мінімальними витратами центра на стимулювання. Це твердження, незважаючи на свою очевидність, дає універсальний інструмент розв'язування задач стимулювання. Наведемо коректне обґрунтування.

Мінімальними витратами на стимулювання з реалізації дії . У класі допустимих систем стимулювання називається така величина:

, (2.47)

тобто мінімальна допустима винагорода, яка спонукає агента вибрати задану дію. Для тих дій, які у рамках припущення А.2 не можуть бути реалізованими в класі , віднесемо мінімальні витрати на стимулювання, що дорівнюють нескінченності.

Очевидно, що в рамках припущення А.2 виконується:

якщо то , (2.48)

Мінімальні витрати на стимулювання є надзвичайно важливим поняттям. їх дослідження дозволяє розв'язувати задачу синтезу оптимальної функції стимулювання, вивчати властивості оптимального розв'язку тощо.

Якщо для задачі стимулювання першого роду критерієм порівняння ефективностей систем стимулювання є максимальні множини реалізованих ними дій, то мінімальні витрати на стимулювання є критерієм для задач і першого, і другого роду. Обґрунтуємо це твердження. Для цього позначимо максимальну в класі ефективність управління:

Твердження 2. Нехай , - два класи допустимих систем стимулювання і виконано:

якщо то , (2.49)

Тоді для задач стимулювання першого і другого роду справедливо:

Дійсно, позначимо – максимальні множини дій, які реалізуються відповідними класами систем стимулювання. Нехай . Оскільки виконано (2.49), то за означенням мінімальних витрат на стимулювання маємо:

Іншими словами, якщо виконано умову твердження 2, то на основі означення мінімальних витрат на стимулювання має місце співвідношення:

,

тобто системи стимулювання, які характеризуються меншими витратами на стимулювання, реалізують більші множини дій, що доводить справедливість твердження 2 для задач першого роду. Розглянемо задачу стимулювання другого роду. Ефективність стимулювання може бути визначена і через мінімальні витрати на стимулювання, причому на підставі (3.39) має місце співвідношення, яке доводить справедливість сформульованого твердження:

.

Відзначимо, що за умов твердження 2 потрібно, аби певне співвідношення між мінімальними витратами на стимулювання виконувалося для будь-яких допустимих дій агента.

Отже, модель досліджуваної організаційної системи задається такими параметрами: . Розв'язування задачі стимулювання передбачає знаходження величини:

де – оптимальна система стимулювання, – оптимальна реалізована дія, - ефективність оптимальної системи стимулювання.

Якщо фіксувати всі компоненти організаційної системи, за винятком множини допустимих систем стимулювання, то, коли виконано (2.49), задача порівняння ефективностей управлінь у різних організаційних системах, тобто ефективностей різних класів систем стимулювання, зводиться до оцінки величин:

(2.50)

або

(2.51)

або

(2.52)

Зупинимося більш докладно на обговоренні обмежень на стимулювання, що накладаються припущеннями А.3. і А.3'. При визначенні мінімальних витрат на стимулювання (2.47) передбачалося, що витрати на стимулювання з реалізації нереалізованих у рамках А.3’ дій дорівнюють нескінченності. В той же час, з погляду формального аналізу, бажано, аби мінімальні витрати на стимулювання не залежали від абсолютних обмежень на величину індивідуального заохочення. Це можна виконати, згадавши, що дотепер не накладалися обмеження на функцію доходу центра.

Розглянемо таку задачу – нехай для певної організаційної системи виконане припущення А.3. Тоді в ній реалізуються будь-які дії агента, а мінімальні витрати на стимулювання (2.47) можуть бути нескінченними лише при нескінченних витратах агента. Якщо в тій же організаційній системі на систему стимулювання накладене обмеження , то мінімальні витрати на стимулювання є нескінченченими не тільки при нескінченних витратах агента, а й при його витратах, які перевищують величину обмеження на стимулювання (2.44).

Цього можна уникнути так: визначимо "нову" функцію доходу центра:

. (2.53)

Позначимо – організаційну систему, яка відрізняється від функцією доходу центра (2.53). Якщо в організаційній системі виконувалося А.3’, то в організаційній системі матиме місце умова А.3. Легко бачити, що розв'язки задач синтезу оптимальних функцій стимулювання в обох організаційних системах збігаються, причому мінімальні витрати на стимулювання в організаційній системі визначаються вже більш просто:

. (2.54)

Отже, справедливий такий результат.

Твердження 3. Розв'язок задачі стимулювання в організаційній системі з обмеженням А.3’ і мінімальними витратами на стимулювання (2.47)-(2.48) еквівалентний розв'язку задачі стимулювання в організаційній системі з обмеженням А.3 за умови (2.53) і витратами на стимулювання (2.54).

Оскільки результат твердження справедливий при будь-яких цільових функціях центра, справедливе таке твердження.

Твердження 4. Нехай , – два підкласи допустимих систем стимулювання, для яких виконане (3.39), де мінімальні витрати на стимулювання визначаються (3.44). Тоді .

Аналіз задач стимулювання (твердження 1–4), показує, що для встановлення порівняльної ефективності тієї чи іншої системи стимулювання (у прямих і обернених задачах першого й другого роду при практично будь-яких комбінаціях припущень про властивості параметрів організаційної системи) достатньо проаналізувати мінімальні витрати на стимулювання (2.54) у рамках припущень А.1, А.2 і А.3. Всі інші розширення цієї моделі (наявність альтернативного рівня гарантованої корисності агента, його індивідуального нуля корисності, зовнішніх обмежень на абсолютну величину стимулювання) або безпосередньо до неї зводяться (еквівалентні), або вимагають незначних модифікацій.

Приклад 2. Наведемо графічну інтерпретацію описаного методу розв'язування задач стимулювання другого роду. На рисунку 2.25 зображені графіки функцій: і ; область дій, реалізованих із погляду як індивідуальної раціональності та узгодженості стимулювання (якщо , то ), так і з погляду незаперечності цільової функції центра (не укладаючи контракт, центр завжди має можливість одержати нульову корисність, оскільки в рамках припущення А.4 ).

Множина дій агента і відповідних значень цільових функцій, що задовольняють одночасно всі перераховані обмеження (узгодження, індивідуальну раціональність тощо як для центра, так і для агента), тобто "область компромісу", заштрихована на рис. 3.14.

Оптимальною реалізованою дією є дія, яка максимізує в області компромісу різницю між доходом центра і витратами агента. Можна бачити, що при незмінних функціях доходу і витрат зі зростанням величини область компромісу вироджується.

Область компромісу є надзвичайно важливим із методологічної точки зору поняттям. Її непустота відображає можливість узгодження інтересів центра й агента в існуючих умовах. Пояснимо це твердження.

У формальній моделі стратегії учасників обмежені відповідними допустимими множинами. Врахування обмежень індивідуальної раціональності агента умовно можна вважати, що параметр резервної зарплати , який фігурує в умові участі, відображає обмеження ринку праці) і центра (умовно можна вважати, що незаперечність цільової функції центра відображає обмеження фінансової ефективності діяльності центра – витрати на стимулювання агента не повинні перевищувати дохід від результатів його діяльності), а також умов узгодження, призводять до того, що множина "раціональних" стратегій – область компромісу – виявиться досить вузькою.

Рис. 2.25. Оптимальний розв’язок детермінованої задачі стимулювання другого роду

Фактично, компроміс між центром і агентом полягає в розподілі корисності, що дорівнює різниці корисностей у точках і (рис. 2.25). Виконуючи перший хід (пропонуючи контракт), центр "забирає" цю різницю собі, змушуючи агента погодитися з резервним значенням корисності. Можна перевірити, що в протилежній ситуації, коли перший хід виконує агент, пропонуючи контракт центру, нульову корисність одержує центр, а агент "забирає" різницю корисності між точками і собі.

Умова оптимальності в розглянутій моделі (у припущенні диференційовності функцій доходу і витрат, а також угнутості функції доходу центра й опуклості функції витрат агента) має вигляд:

.

Величина в економіці називається граничною продуктивністю агента , а величина – його граничними витратами . Умова оптимуму – визначає ефективну заробітну плату.

Приклад 3.

Експертні оцінки функцій і для значень дій в інтервалі наведені в таблиці. Необхідно знайти оптимальний розв’язок задачі стимулювання.

y	H(y)
0	0	0,9
1	0,880	0,527
2	1,471	0,992
3	1,588	0,743
4	2,159	1,269
5	2,570	1,173
6	2,438	1,732
7	2,733	1,815
8	3,074	2,385
9	2,862	2,667
10	3,035	3,231
11	3,464	3,722
12	3,364	4,274
13	3,544	4,978
14	4,125	5,520
15	4,185	6,430

Розв’язання. Наочно дані з таблиці представлені на рис. 2.26.

Рис. 2.26. Графічний розв’язок приклада 3

Визначаємо тренди функцій:

( )

( )

З умови оптимальності маємо:

.

Оптимальним розв’язком є .

Відповідь: ефективна заробітна плата складає 4,93 ум. грош. од.

Як випливає зі сказаного, в рамках введених припущень система стимулювання -типу є оптимальним розв'язком задач стимулювання першого і другого роду.

До цього вважалося, що квазікомпенсаторна система є допустимою (припущення А.3 і А.3'). Проте, на практиці це не завжди так – центр може бути жорстко обмеженим деяким фіксованим класом систем стимулювання, причому ці обмеження можуть бути як екзогенними – наприклад, визначатися правовими нормами, які регулюють оплату праці, так і ендогенними – з тих чи інших причин центр може бути схильним до використання, наприклад, відрядної чи погодинної оплати, а не до простої компенсації витрат. Тому одна із задач полягає в тому, аби оцінити ефективність різних базових систем стимулювання.

Базовими називаються найпростіші і в той же час широко розповсюджені на практиці системи стимулювання.

Дослідження базових систем стимулювання виконується в рамках такого загального підходу: для фіксованого класу систем стимулювання визначаються мінімальні витрати на стимулювання, потім порівнюються витрати на стимулювання для різних класів. Апріорі можна сказати, що оскільки "ідеалом" є "абсолютно оптимальні" квазікомпенсаторні системи стимулювання, то ефективність будь-якої системи стимулювання буде не вищою (а витрати на стимулювання, відповідно, не нижчими), ніж у систем ( -типу. Проте важливе не тільки якісне співвідношення ефективностей, оскільки ключовим є питання саме про кількісні втрати в ефективності (приросту в мінімальних сумарних витратах на стимулювання) – тільки знаючи величину цих втрат управляючий орган може приймати рішення про доцільність використання конкретної системи стимулювання. Так, наприклад, використання уніфікованих (однакових для всіх агентів багатоелементної організаційної системи) систем стимулювання не тільки зменшує інформаційне навантаження на центр, а й призводить до зниження ефективності самого стимулювання. Рішення про розумність компромісу між виграшем в інформаційному навантаженні і втратами в ефективності вимагає оцінки цих величин.

Основним інструментом оцінки втрат ефективності є наведені результати про співвідношення ефективності і мінімальних витрат на стимулювання, тому достатніми виявляються обчислення різниці або відношення показників ефективності чи відповідних витрат на стимулювання.

Перелічимо тепер базові системи стимулювання в одноелементних детермінованих, тобто функціонуючих в умовах повної інформованості про всі істотні зовнішні і внутрішні параметри, організаційні системи.

Стрибкоподібні системи стимулювання ( -типу) характеризуються тим, що агент одержує сталу винагороду (яка, як правило, дорівнює максимально можливому або заздалегідь встановленому значенню), за умови, що вибрана ним дія не менша заданої, і нульову винагороду, при виборі менших дій (рис. 2.27):

. (2.55)

Параметр називається планом – бажаним із погляду центра станом (дією, результатом діяльності тощо) агента.

Системи стимулювання -типу змістовно можуть інтерпретуватися як акордні, що відповідають фіксованій винагороді при заданому результаті (наприклад, обсязі робіт не нижче обумовленого заздалегідь, часу тощо). Інша змістовна інтерпретація відповідає випадкові, коли дією агента є кількість відпрацьованих годин, тобто винагорода відповідає, наприклад, фіксованому окладові без надбавок і оцінки якості діяльності.

Рис. 2.27. Стрибкоподібна система стимулювання

Більшість базових систем стимулювання є параметричними – наприклад, клас визначається завданням, крім (2.55), множини допустимих планів (щодо яких, як правило, передбачається, що вони збігаються з множиною допустимих дій агента , або з множиною дій, реалізованих при заданих обмеженнях механізму стимулювання).

Квазістрибкоподібні системи стимулювання ( -типу) відрізняються від стрибкоподібних тим, що винагорода виплачується агентові тільки при точному виконанні плану (рис. 2.28):

. (2.56)

Рис. 2.28. Квазістрибкоподібна система стимулювання

Слід зазначити, що системи стимулювання -типу є досить екзотичними (особливо в умовах невизначеності незрозуміло, що розуміти під точним виконанням плану) і рідко використовуються на практиці.

"Відзначимо, що про стрибкоподібні і квазістрибкоподібні системи стимулювання має сенс говорити в рамках припущення А.3'. Якщо на абсолютну величину винагороди агента не накладено ніяких обмежень (припущення А.3), то необхідно довизначити, що розуміти під величиною в (3.45) і (3.46), тобто амплітуда "стрибка", як і план, може бути змінною величиною.

Компенсаторна система стимулювання ( -типу) характеризується тим, що агентові компенсують витрати за умови, що

його дії належать заданому діапазону, наприклад, обмеженнями на абсолютну величину індивідуальної винагороди:

(2.57)

де в рамках припущення А.2' - функція, обернена функції витрат агента, тобто центр може компенсувати агентові витрати при і не оплачувати вибір більших дій (рис. 2.29).

Рис. 2.29. Компенсаторна система стимулювання

Квазікомпенсаторні системи стимулювання ( -типу) відрізняються від компенсаторних тим, що винагорода виплачується агентові тільки при точному виконанні плану (рис. 3.19):

(2.58)

Рис. 2.30. Квазікомпенсаторна система стимулювання

Пропорційні системи стимулювання ( -типу). На практиці досить поширені системи оплати праці, які ґрунтуються на використанні сталих ставок оплати: погодинна оплата має на увазі існування ставки оплати одиниці робочого часу (як правило, години або дня), відрядна оплата – існування ставки оплати за одиницю продукції тощо. Поєднує ці системи оплати те, що винагорода агента прямопропорціина його дії (кількості відпрацьованих годин, обсягові випущеної продукції і т.п.), а ставка оплати є коефіцієнтом пропорційності (рис. 2.31):

(2.59)

У більш загальному випадку можливо, що частина винагороди агенту виплачується незалежно від його дій, тобто пропорційна система може мати вигляд .

Системи стимулювання, які ґрунтуються на перерозподілі доходу ( -типу), використовують таку ідею. Оскільки центр виражає інтереси системи в цілому, то можна умовно ідентифікувати його дохід із доходом від діяльності всієї організаційної системи. Тому можна при стимулюванні агента спиратися на величину доходу центра – вважати винагороду агента такою, що дорівнює певній (наприклад, сталій) частці доходу центра:

, (2.60)

де . На сьогодні формальні моделі зі змінною часткою , на жаль, не досліджені.

Рис. 2.31. Пропорційна система стимулювання

Ще раз відзначимо, що системи стимулювання , , і -типу є параметричними: для визначення конкретної стрибкоподібної системи стимулювання достатньо задати пари ( , ); конкретна компенсаторна система стимулювання однозначно визначається функцією витрат агента (і, можливо, планом ); для визначення конкретної пропорційної системи стимулювання достатньо задати ставку оплати а; для визначення конкретної системи стимулювання, яка ґрунтується на перерозподілі доходу, достатньо задати норматив .

Степеневі системи стимулювання є досить штучною конструкцією, коли винагорода агента певною мірою пропорційна його витратам:

, (2.61)

де . Використання степеневих систем стимулювання виявляється ефективним у багатоелементних організаційних системах із невизначеністю.

За аналогією з тим, як це виконувалося для стрибкоподібних і компенсаторних систем стимулювання, можна ввести квазілінійні системи стимулювання ( -типу), при використанні яких агент одержує винагороду, пропорційну плану, у випадку його виконання, і нульову винагороду в усіх інших випадках. Аналогічно визначаються системи стимулювання ( -типу.

Перераховані системи стимулювання як елементи можна використовувати при побудові інших більш складних систем стимулювання. Для можливості такого "конструювання" необхідно визначити операції над базовими системами стимулювання. Для одноелементних детермінованих організаційних систем достатньо обмежитися операціями таких трьох типів.

Перший тип операції - винагорода вважається такою, що дорівнює нулю всюди, за винятком дії, що збігається з планом. У детермінованих організаційних системах "обнуління" стимулювання в усіх точках, крім плану, у рамках гіпотези доброзичливості практично не змінює властивостей системи стимулювання, тому в подальшому не будемо акцентувати увагу на різниці деякої системи стимулювання і системи стимулювання, що дістається з початкової застосуванням операції першого типу.

Другий тип операції – розбивка множини можливих дій на декілька підмножин і використання різних базових систем стимулювання на різних підмножинах. Одержані в результаті застосування операцій другого типу системи стимулювання називаються складеними і позначаються послідовним записом позначень її компонент.

Наприклад, центр може фіксувати плани і ( ) і використовувати систему стимулювання -типу зі стрибком у точці при діях агента, менших , і пропорційну систему стимулювання при діях агента, що перевищують план . Ескіз системи стимулювання, яка при цьому дістається, -типу наведений на рис. 2.32.

Зрозуміло, що до однієї й тієї системи стимулювання можна застосовувати операцію другого типу декілька разів. Можливе також застосування операції другого типу до результатів її попереднього застосування тощо. Наприклад, застосовуючи операцію другого типу до системи стимулювання -типу, зображеної на рис. 2.32, тобто додаючи умову, що система стимулювання є стрибкоподібною при , одержимо систему стимулювання -типу. Застосовуючи до неї, в свою чергу, наприклад, операцію першого типу, одержимо систему стимулювання - типу і т.д.

Рис. 2.32. Система стимулювання CL-типу (складена)

Третій тип операції – алгебраїчне підсумовування двох систем стимулювання (що /допустимо, оскільки стимулювання входить у цільові функції учасників системи аддитивно). Результат застосування операції третього типу називається сумарною системою стимулювання і позначається "сумою" початкових систем стимулювання. Ескіз системи стимулювання -типу, що дістається в результаті застосування операції третього типу до систем стимулювання -типу і -типу, зображений на рис. 2.33.

Рис. 2.33. Система стимулювання C + L-типу (сумарна)

Операцію третього типу також можна застосовувати послідовно до результатів попередніх її застосувань, одержуючи, наприклад, системи стимулювання -типу тощо. Можливе також її комбіноване застосування з операціями першого і другого типу. Системи стимулювання, які дістаються в результаті послідовного застосування скінчене число раз операцій першого, другого чи третього типу до систем -типу, -типу, -типу, -типу (які називаються основними), а також до результатів попередніх їх застосувань, називаються похідними від основних (початкових).

Базовими називаються системи стимулювання -типу, -типу, -типу і -типу, а також усі похідні від них системи стимулювання.

Отже, базові системи стимулювання, одержані в результаті застосування тільки операцій другого типу, називаються складеними. Базові системи стимулювання, одержані в результаті застосування тільки операцій третього типу, називаються сумарними. Основні, складені і сумарні системи стимулювання вважаються простими базовими. Сумарні складені системи стимулювання називаються складними базовими системами стимулювання.

Число різних сумарних систем стимулювання визначається елементарно. Є такі варіанти: , , , , , , (клас еквівалентний класові , а клас еквівалентний класові ), , , , , . З огляду на те, що класи і , де , еквівалентні, одержуємо дванадцять класів сумарних систем стимулювання.

Складнішою залишається справа зі складеними системами стимулювання - їх число залежить від числа точок розбивок множини допустимих дій агента. Тому обмежимося складеними системами стимулювання, які охоплюють не більше двох комбінацій. Враховуючи, що комбінація компенсаторної системи стимулювання із собою еквівалентна початковій, одержуємо п'ятнадцять пар: , , , , , , , , , , , , , тобто п'ятнадцять класів складених систем стимулювання.

Підсумовуючи чотири основних, дванадцять сумарних і п'ятнадцять складених (подвійних), одержуємо 31 просту базову систему стимулювання.

Таким чином, перелічивши стрибкоподібну, компенсаторну, пропорційному і засновану на перерозподілі доходу системи стимулювання й визначивши три операції над ними, одержуємо можливість генерувати значне число різних систем стимулювання.

Математичні моделі заробітної плати

Системою оплати праці називається спосіб визначення розмірів винагороди залежно від витрат, результатів праці тощо.

Ті чи інші конкретні системи оплати праці виділяються в рамках більш загальних форм оплати праці. Тому розглянемо

спочатку форми заробітної плати, а потім для кожної із форм перелічимо основні системи оплати.

Розрізняють такі форми індивідуальної заробітної плати:

• тарифна, при використанні якої індивідуальна винагорода агента не пов'язана явно з кількісними показниками його діяльності, а визначається її змістом, кваліфікаційними вимогами та іншими нормативами. Для оплати праці керівників і фахівців може використовуватися окладно-преміальна система оплати, в якій індивідуальна винагорода складається з окладу (тарифна система) і премії, що визначається за результатами діяльності організації, підрозділу тощо. Різновидом тарифної форми оплати є плаваючі оклади, при використанні яких показники тарифної системи на кожний період розраховуються з урахуванням результатів діяльності в попередніх періодах;

• погодинна, при використанні якої індивідуальна винагорода залежить від відпрацьованого часу з урахуванням кваліфікації та якості праці;

• відрядна, при використанні якої індивідуальна винагорода залежить від кількості виготовленої продукції;

• участь у доході (участь у прибутках, виплати бону су), наприклад - придбання акцій компанії (опціони);

• премії - додаткова порівняно із заробітною платою винагорода, що виплачується у певних випадках.

Окремою формою заробітної плати, що стимулює продаж, є комісійні.

Погодинна форма заробітної плати може реалізовуватися у вигляді таких систем оплати:

• проста погодинна;

• почасово-преміальна.

Відрядна форма (поштучна) заробітної плати може реалізовуватися у вигляді таких систем оплати:

• пряма відрядна;

• відрядно-преміальна;

• відрядно-прогресивна;

• непрямо-відрядна;

• акордна.

Зв'язок між погодинною і відрядною формами оплати може бути встановлений так. Якщо у відрядній оплаті фіксовані норми часу на виконання певних завдань, то її можна розглядати як погодинну. При цьому на практиці, якщо працівник справляється зі своїм завданням (з виконанням вимог не тільки кількості, а й якості) швидше відведеного часу, то йому може оплачуватися весь час за нормою, незалежно від фактично витраченого часу.

Розглянемо перераховані системи оплати більш докладно.

Проста погодинна система оплати відповідає використанню фіксованих (сталих, тобто не залежних від певних показників діяльності агента) ставок оплати за одиницю часу. Якщо під дією агента розуміти відпрацьований час, то даній системі оплати відповідає система стимулювання -типу.

При використанні почасово-преміальної системи оплати до суми заробітку за тарифом (за умови виконання і/або перевиконання нормативів, наприклад - плану ) додається премія (позначимо її ставку ), що вимірюється, наприклад, у відсотках до тарифної ставки. Такій системі оплати відповідає система стимулювання -типу (рис. 2.34).

Рис. 2.34. Почасово-преміальна система оплати

(норматив – х; або )

Пряма відрядна система оплати (проста погодинна система оплати) характеризується прямопропорційною залежністю величини винагороди від обсягу випуску (кількості виготовленої продукції) за єдиними жорсткими відрядними розцінками (ставками), які не залежать від обсягу випуску тощо. Якщо під дією агента розуміти кількість виготовленої продукції, то цій системі оплати відповідає система стимулювання -типу.

При використанні відрядно-преміальної системи оплати, крім базового тарифу, виплачується премія, наприклад, за перевиконання нормативів тощо (рис. 2.35). Цій системі оплати відповідає система стимулювання -типу або в більш загальному випадку, наведеному на рисунку 2.35 , система стимулювання -типу.

Рис. 2.35. Відрядно-преміальна система оплати

(норматив – х)

Відрядно-прогресивна система оплати, в рамках якої виробництво понад встановлену норму оплачується за підвищеними розцінками, з погляду формального аналізу аналогічна почасово-преміальній системі оплати (з точністю до конкретизації міри праці), і їй відповідає система стимулювання -типу.

Непрямо-відрядна система оплати використовується, наприклад, для оплати праці допоміжних робітників. При цьому розмір їхнього заробітку може складати певний відсоток від заробітку основних робітників, які ними обслуговуються. Цій системі оплати відповідає система стимулювання, яка ґрунтується на перерозподілі доходу – -типу.

При використанні акордної системи оплати сукупний індивідуальний заробіток виплачується за фіксовані стадії роботи або за виконання повного комплексу робіт. Цій системі оплати відповідає система стимулювання -типу. Різновидом акордної системи оплати є акордно-преміальні системи оплати, в яких додаткова премія виплачується за якість робіт, скорочення термінів тощо.

Участь у доході (прибутку) як форма індивідуальної заробітної плати збігається із системою стимулювання -типу.

Специфічна форма заробітної плати, що стимулює продаж, тобто – комісійні, може розглядатися або як система стимулювання, яка ґрунтується на перерозподілі доходу (чи прибутку) від продажів (системи стимулювання -типу), або як пропорційна система стимулювання (якщо дохід від продажу одиниці товару заданий, то фіксування комісійних означає встановлення прямопропорційної залежності між величиною заохочення і кількістю проданих товарів, яка відіграє в даному випадку роль дії агента). Якщо винагорода визначається як фіксований відсоток від прибутку, то при трактуванні дії агента як величини прибутку, участь у прибутку є прямою відрядною системою оплати (пропорційна система стимулювання). Такий підхід охоплює використовувані на практиці комісійні форми, зокрема фіксовану грошову суму за кожну продану одиницю продукції, фіксований відсоток від маржі за контрактом; фіксований відсоток від обсягу реалізації, фіксований відсоток від базової зарплати при виконанні плану з реалізації.

На закінчення обговоримо таку форму індивідуальної заробітної плати, як премія. Будемо розрізняти премії, передбачені системою оплати праці в організації, тобто "регулярні", і премії заохочувального характеру - одноразові (виплачувані організацією за рахунок власних коштів), що не є обов'язковими (наприклад, премії до ювілейних дат і т.п.). Найчастіше премії ґрунтуються на підставі результатів довгострокових досягнень працівника. Діапазони часу, що враховуються при цьому, у зарубіжній практиці обмежуються, як правило, трьома-п'ятьма роками.

Розрізняють регулярні премії таких двох видів.

У першому випадку абсолютна величина премії, наприклад, при виконанні і/або перевиконанні планових завдань обумовлена заздалегідь і відповідає системі стимулювання -типу, де – деяка базова система стимулювання. Величина премії, зокрема, може бути пропорційною базовому окладу (без врахування преміальних, прогресивних та інших надбавок).

У другому випадку абсолютна величина премії визначається як заздалегідь встановлений відсоток від заробітку за обліковий період. Такі складні системи преміювання використовуються досить рідко. Для їх формального опису варто було б ввести додаткову (четверту) операцію над базовими системами стимулювання – "зміни масштабу" на певних підмножинах множини допустимих дій агента. Теоретико-ігровий аналіз таких ("сильно розривних") систем стимулювання досить трудомісткий.

Важливу роль, крім основної заробітної плати, відіграє додаткова заробітна плата у формі різних доплат (доплати за суміщення, понаднормову роботу тощо), надбавок (за кваліфікацію, вислугу років, стаж роботи в даній організації і т.п.) та одноразових винагород. На відміну від премій, наприклад, надбавки включаються до складу заробітної плати регулярно. Основні і додаткова заробітні плати спільно можуть розглядатися як певна єдина сумарна система стимулювання.

Короткий огляд основних використовуваних на практиці систем оплати праці дозволяє зробити висновок, що переважна більшість з них охоплюється множиною розглянутих моделей базових систем стимулювання. При цьому можна стверджувати, що такі форми індивідуальної заробітної плати, як погодинна, відрядна, участь у доході, преміальна (і відповідні їм системи оплати: проста погодинна, почасово-преміальна, пряма відрядна, відрядно-преміальна, відрядно-прогресивна, непрямо-відрядна, акордна тощо) можуть відносно адекватно описуватися такою множиною систем стимулювання: чи .

Встановивши в першому наближенні якісний взаємозв'язок теоретичних моделей систем стимулювання з формами заробітної плати, можна перейти до вивчення порівняльної ефективності тих чи інших простих базових систем стимулювання в одноелементних детермінованих організаційних системах.