Постепенное увеличение или уменьшение среднего значения
При многих процессах увеличение или уменьшение среднего значения какого-либо параметра изделия происходит вследствие износа оборудования или другой причины. Чтобы оценить создавшуюся ситуацию, возьмем данные и оставим первую выборку в прежнем виде, а к размеру каждого образца следующей выборки добавим 0,1. За тем увеличим среднюю величину изделия третьей выборки на 0,2, а среднюю величину четвертой выборки — на 0,3 и т. д. Эти данные нанесены на контрольную карту, приведенную на рисунке 1.3.8.
Рисунок 1.3.8 – Контрольная карта для возрастающего среднего значения:
1 – среднее значение; 2 – верхняя браковочная граница;
3 – линия тенденции полусреднего значения; 4 – линия тенденции наименьших квадратов; 5 – нижняя браковочная граница
На карте видно, что все точки располагаются по восходящей линии.
Таблица 1.3.5 – Данные, характеризующие изменение среднего значения
Номер выборки |
|
Номер выборки |
|
Номер выборки |
|
Номер выборки |
|
Номер выборки |
|
1 |
– 1,2 |
6 |
0,5 |
11 |
– 0,7 |
16 |
1,5 |
21 |
2,8 |
2 |
– 0,1 |
7 |
1,2 |
12 |
2,1 |
17 |
2,4 |
22 |
2,3 |
3 |
0,6 |
8 |
1,3 |
13 |
1,8 |
18 |
1,5 |
23 |
3,8 |
4 |
– 0,7 |
9 |
0,8 |
14 |
0,7 |
19 |
1,6 |
24 |
3,5 |
5 |
0 |
10 |
1,7 |
15 |
1,8 |
20 |
1,3 |
25 |
1,2 |
Среднее
1 – 13:
значение
14 –25:
выборок
1 – 25:
Средний
размах выборок 1 – 25:
Постараемся определить тенденцию к повышению среднего значения, характерную для этих данных. Рассмотрим три метода определения этой тенденции:
1) приближенной оценки;
2) полусредних значений;
3) наименьших квадратов
Первый метод – самый простой, но неточный; он зависит от аккуратности проведения измерений.
Чтобы определить тенденцию полусредних значений, разделим данные на две равные группы, если количество выборок четное. Если количество выборок нечетное, то следует пропустить среднюю выборку. Найдем среднее значение для каждой группы и отметим эти значения на карте в центрах групп. Затем соединим эти две точки прямой линией. Она должна пройти вблизи от общего среднего значения.
В данном примере у нас есть две точки (6,5; 0,450) и (19,5; 2,033), по которым составим уравнение, описывающее данную тенденцию:
.
Это
выражение можно упростить:
.
Приведенное выражение является
уравнением, описывающим тенденцию
полусредних значений.
Наиболее точный метод определения тенденции изменения данных – это метод наименьших квадратов.
Чтобы определить эту тенденцию, умножим каждый номер выборки на ее среднее значение, а затем сложим полученные произведения.
Таблица 1.3.6 – Расчет линии наименьших квадратов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
– 1,2 |
– 1,2 |
11 |
– 0,7 |
– 7,7 |
21 |
2,8 |
30,8 |
|
2 |
– 0,1 |
– 0,2 |
12 |
2,1 |
25,2 |
22 |
2,3 |
50,6 |
|
3 |
0,6 |
1,8 |
13 |
1,8 |
23,4 |
23 |
3,8 |
87,4 |
|
4 |
– 0,8 |
– 3,2 |
14 |
0,7 |
9,8 |
24 |
3,5 |
84,0 |
|
5 |
0,0 |
0,0 |
15 |
1,8 |
27,0 |
25 |
1,2 |
20,0 |
|
6 |
0,5 |
3,0 |
16 |
1,5 |
24,0 |
Итого |
31,6 |
541,9 |
|
7 |
1,2 |
8,4 |
17 |
2,4 |
40,8 |
||||
8 |
1,3 |
10,4 |
18 |
1,5 |
27,0 |
|
|||
9 |
0,8 |
7,2 |
19 |
1,6 |
30,4 |
|
|||
10 |
1,7 |
17,0 |
20 |
1,3 |
26,0 |
|
|||
Тогда тенденции изменения контролируемого параметра будут описываться, как и выше, линейным уравнением:
но в котором:
где:
Для
данного примера
Тогда
Последнее из уравнений определяет тенденцию изменения контролируемого параметра, полученную методом наименьших квадратов.