Тема „Алгебра лінійних множин”

Поняття множини трактується як первинне, неозначене поняття, подібно до того, як поняття „точки” – первинне в геометрії. Засновник теорії множин німецький математик Георг Кантор (1845 - 1918) розумів під множиною „деяку сукупність визначених елементів, яка може бути об’єднана в одне ціле за допомогою деякого закону”.

Означення 1. Множина – це сукупність різних об’єктів, яким властиве дещо спільне, що дозволяє їх об’єднати. Об’єкти, які входять у множину називають елементами множини. Множини, як правило, позначають великими латинськими буквами A, B, X, Y, …, а їх елементи – малими a, b, x, y.

Задати множину – це означає вказати правило, за яким можна встановити, чи є той або інший об’єкт елементом даної множини.

Приклади множин:

• множина натуральних чисел;

• множина парних чисел;

• множина дійсних чисел, більших за 0 і менших за 1 тощо.

Способи задання множин

Є кілька способів задання множин:

1. вербальний (словесний) – за допомогою опису характеристичних властивостей, які повинні мати елементи множин;

2. список (перелік) усіх елементів у фігурних дужках. Наприклад, {1, 2, 3, …}, {0, 1}, {2, 4, 6, …};

3. предикативний (висловлювальний, породжувальний) – за допомогою предиката, тобто множина задається у вигляді {x: P(x)}, або {x  P(x)}, де P(x) набуває значення „істина” для елементів множини. Приклади: а) {1, 2, 3, …} = {x  x – натуральне число}; б) множина цифр двійкової системи {0, 1} = {x  x – цифра двійкової системи} = {x  x² – x = 0}; в) {2, 4, 6, …} = {x  x – парне число} = {x   n  N (x = 2n)};

4. аналітичний.

Означення 2. Множини називаються скінченними, якщо число їх елементів скінчене, тобто існує натуральне число n, яке є числом елементів множини.

Означення 3. Множини називаються нескінченними, якщо вони містять нескінченне число елементів.

Наприклад, M = {x  x  R, x² + 2x – 8 < 0} – множина дійсних розв’язків нерівності x² + 2x – 8 < 0}, тобто інтервал (-4; 2).

Парадокс Б.Рассела: Розглянемо множину F всіх таких множин X, що X не є елементом X. Тоді, якщо A не є елементом A, то за означення А також є елементом А. З іншого боку, якщо А є елементом А, то А – одна з тих множин X, які є елементами самих себе, тобто А не є елементом А. У будь-якому випадку А є елементом А й А не є елементом А.

Порожня множина ()

Приклад. S = {x  x – непарне число, що ділиться на 2} = ;

K = {x  N x² + 2x = 0} = .

Означення 4. Множина, яка взагалі не містить елементів, називається порожньою.

Означення 5. Число елементів скінченної множини А називають потужністю множини А і позначають N(A) або |A|. Наприклад, |{-5, 3}| = 2.

Введення порожньої множини дає можливість оперувати будь-якою множиною без попереднього застереження, існує вона чи ні.

Операції над множинами

Означення 6. Множини А і В рівні (А = В), якщо вони складаються з одних і тих же елементів. Наприклад, А = {-1, 2} і B = {x  R  x² – x – 2 = 0} , то A = B.

Із визначення рівності випливає, що порядок перерахування елементів множини неістотній. Наприклад, {3, 6, 9}, {9, 3, 6}, {6, 3, 9} – це одна і та сама множина.

Щоб довести рівність довільних множин A і B, потрібно встановити два факти: якщо x  A, то x  B; якщо x  B, то x  A.

1 . Об’єднання А і В (A B) – множина, що складається з усіх елементів множини А, всіх елементів множини В і не містить жодних інших елементів, тобто A B = {x  x  A  x  B},

де символ „” позначає логічну операцію диз’юнкції (логічне „або”).

2 . Переріз А і В (A B) – множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать одночасно множині А та множині В, тобто A B = {x  x  A  x  B},

де символ „” позначає логічну операцію кон’юнкції (логічне „та”).

3 . Різниця А і В (відносне доповнення) – множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множині А й не належать множині В, тобто A – B = {x  x  A  x  B},

4 . Диз’юнктивна сума А і В (симетрична різниця) – множина, що складається з усіх елементів А, які не належать множині В, й усіх елементів В, які не належать множині А, та яка не містить жодних інших елементів, тобто A  B = {x  x  A  x  B}, де для позначення операції диз’юнктивної суми двох множин використано той самий символ , що й для логічної операції додавання за mod 2, яка позначається символом . Очевидно, що А В = (А – В) (В – А).