Тема „Алгебри. Типи алгебр. Алгебраїчні системи”

У математиці та її застосуваннях велике значення мають відношення, що ставлять у відповідність парі якихось об’єктів (a, b) третій об’єкт с, тобто тернарні відношення, наприклад, дії над числами. При цьому запис aTb = c(або a  b = c) означає, що а в композиції з b дає c, де T (або ) – операція, a, b – операнди; с – результат операції або композиція об’єктів а і b.

Позначимо множини операндів A та B (a  A, b  B) і множину результатів операції C (c  C); тоді операцію (композицію) можна означити як відображення A  B  C. Її часто називають законом композиції.

Таблиця Келі. Будь-який закон композиції A  B  C над скінченими множинами можна задавати прямокутною матрицею (таблицею Келі):

	b1	b2	b3	b4	…
a1	c11	c12	c13	c14	…
a2	c21	c22	c23	c24	…
a3	c31	c32	c33	c34	…
…	…	…	…	…	…

Тут рядки – це елементи множини A, а стовпці – елементи множини B. На перетині рядка та стовпця, що відповідає (a_i, b_j), розташовується елементи c_ij = a_iTb_j.

Закони композиції на площині. Множини A, B, C, які беруть участь в операції A  B  C, не обов’язково мають бути різними. Якщо A = B = C = S, то кажуть, що закон композиції означений на множині S; розрізняють внутрішній закон композиції S  S  S і зовнішній Q  S  S, де Q і S – різні множини (Q  S).

У разі внутрішнього закону композиції кажуть, що множина утворює групоїд відносно операції T. У разі зовнішнього закону композиції операнди a  Q називають операторами, а Q – множиною операторів на множині S.

Приклад 1. Множина дійсних чисел утворює групоїд відносно операції „+” та „”, множина всіх векторів на площині – групоїд відносно операцій геометричного підсумовування.

Прикладами зовнішнього закону композиції можуть бути множення вектора на скаляр на множині векторів, причому операторами є скаляри – елементи з R.

Матриця і граф групоїда. Скінченний групоїд S відносно закону T визначається таблицею Келі, тобто квадратною матрицею n-го порядку, де n – кількість елементів групоїда.

Приклад 2. Таблиця Келі для групоїда S = {a, b, c, d} відносно деякої операції T може мати такий вигляд:

	a	b	c	d
a	a	b	a	b
b	a	b	c	a
c	b	a	b	d
d	d	b	d	B

Побудова графа групоїда ґрунтується на поданні бінарного співвідношення aTb = с, де дуги графа зображають елементи a, b, c  S, причому операнди утворюють деяких шлях, а дуги результату операції замикають цей шлях.

Приклад 3. aTb = c

Якщо aTb = a, то b зображується петлею в кінцевій вершині дуги a.

aTb = a

При побудові графа спочатку наносять дуги для всіх елементів групоїда, які виходять з однієї вершини, а потім послідовно зображають усі бінарні співвідношення.

Приклад 4. Для матриці прикладу 2 граф матиме наступний вигляд.

Д уги a, b, c, d, що виходять з однієї вершини, відповідають елементам групоїда. Оскільки a  a = a, a  b = b, a  c = a, a  d = b, з кінця дуги а виходять дуги a, b, c, d відповідно до кінцевих вершин дуг a, b, c, d. Дві паралельні дуги b в d спрямовані до кінцевої вершини дуги b, умовно зображаються однією дугою b, d. Дуга c починається та закінчується в кінцевій вершині дуги a, тобто утворює петлю. Аналогічно зображаються на графі інші співвідношення, визначені матрицею групоїда.

Властивості внутрішнього закону композиції. Операції на множині S можуть мати деякі загальні властивості, що виражаються співвідношеннями між елементами S:

• комутативність aTb = bTa;

• асоціативність aT(bTc) = (aTb)Tc;

• дистрибутивність праворуч від операції  (відносно операції T) (aTb)  c = (a  c)T(b  c);

• дистрибутивність ліворуч від операції  (відносно операції T) с  (aTb) = (с  a)T(c  b).

Приклад 5. На R операції „+” і „” є асоціативними й комунікативними, операція „” дистрибутивною (і ліворуч, і праворуч) відносно операції „+”, але „+” не є дистрибутивною відносно операції „” (ні ліворуч, ні праворуч), оскільки a + (b  c)  (a + b)  (a + c), та a  b + c  (a + с)  (b + c).

Піднесення до степеня не асоціативне: (a^b)^c  , не комунікативне, a^b  b^a, дистрибутивне праворуч відносно операції „”: (ab)^c = a^cb^c, але не дистрибутивне ліворуч відносно неї: c^ab  c^ac^b.

Якщо справджується внутрішній закон композиції: S ⁿ  S, то функцію типу  : S ⁿ  S будемо називати n-арною операцією на множині S: n-арністю операції . Множина S разом із заданою на ній сукупністю операцій  = (₁, …, _m, …), тобто система A = {S; ₁, …, _m, …} називається алгеброю; S – носієм алгебри A. Сукупність операцій  – сигнатурою.

Множина F  S називається замкненою відносно n-арної операції  на F, якщо (Fⁿ)  F, тобто якщо значення  на аргументах з F належать F. Якщо F – замкнена множина відносно всіх операцій ₁, …, _m, … алгебри A, то алгебра A = (F, ₁, …, _m, …) є підалгеброю A (при цьому ₁, …, _m, … розглядаються як операції на F).

Приклад 6. а) Множина дійсних чисел з операціями додавання і множення {R; +, }-алгебра. Обидві операції є бінарними, тому тип цієї алгебри (2, 2). Усі скінченні підмножини R, крім {0}, - не замкнені відносно обох операцій. Підалгеброю цієї алгебри, є, наприклад, множина раціональних чисел із тими самими операціями {Q, +, }.

б) Множина F одномісних функцій на R, тобто функцій f: R  R разом з операцією диференціювання є алгеброю. Елементи основної множини – функції типу R  R, єдиною операцією цієї алгебри служить диференціювання – унарна операція типу F  F (похідна функції R є знову функція на R). Множина елементарних функцій є замкненою відносно диференціювання, оскільки похідні елементарних функцій – елементарні й, отже, утворюють підалгебру цієї алгебри.