Універсум (u)

В означенні конкретної множини явно або неявно обмежується сукупність об’єктів, що є допустимими. (Слони серед тварин, натуральні числа – серед цілих, або дійсних, залежно від контексту). Зручно сукупність допустимих об’єктів зафіксувати явно та вважати, що множини, які розглядаються, складаються з елементів цієї сукупності. Її називають основною множиною (універсумом) і позначають U.

Універсум U арифметики – числа, універсум U зоології – тварини і т.д.

U – A = (абсолютне доповнення А) – це множина, що містить усі елементи універсуму, за винятком елементів А. U – квадрат, А – круг, - площа квадрата поза кругом.

О значення 7. Множина А називається підмножиною множини В, якщо кожен елемент А є елементом В (позначають  - символ включення), А  В   x  A  x  B.

Якщо необхідно підкреслити, що множина А містить також інші елементи, крім елементів множини В, то використовують символ В  А  В  А, B  A.

Означення 8. Множину В називають істинною (або власною) підмножиною А, якщо В  А і B  A, на відміну від неістинних (або невласних) підмножин  та U будь-якої множини А.

Означення 9. Якщо всі множини, що розглядаються в процесі вивчення деякого питання, є підмножинами деякої множини U, то ця множина U називається універсальною множиною (універсумом) у даному процесі.

Твердження 1. Для виконання рівності множин A і B (A = B) необхідно і досить, щоб виконувалися включення:

A  B  В  А.

Доведення: а) необхідності.

Розглянемо довільний елемент x множини A. Оскільки A  B, то x  B. З другого боку, для довільного елемента y  В маємо в силу включення В  А, що y  А. Отже, A = B.

б) достатність.

Нехай A = B. Тоді для довільного x  A маємо, що x  B. Отже, А  В. Розглянемо довільний елемент y  В. Маємо, що y  А (оскільки А = В). Отже, В  А.

Твердження 2. Справджується рівність

A  B  В  С  А  С.

Твердження 3. Порожня множина єдина.

Доведення проведемо від супротивного: припустимо, що існують дві порожні множини ₁ і ₂. Розглянемо два висловлення x  ₁ і x  ₂. Обидва вони тотожно хибні, тому x  ₁  x  ₂. За означенням рівності ₁ = ₂. Одержана суперечність доводить єдність. Приймемо без доведення такі твердження: A  B A; B  A B; A B  A; A B  B; A – B  A.

Множина підмножин

Означення 10. Множину, елементами якої є всі підмножини множини А, називають множиною підмножин (множиною степенів) множини А і позначають P(A).

Приклад. Нехай A = {a, b, c}. Запишемо P(A):

P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Якщо множина А містить n елементів, то P(A) містить 2ⁿ елементів. Доведення ґрунтується на підсумовуванні всіх коефіцієнтів розкладу бінома Ньютона.

Слід підкреслити відмінності між відношенням належності () і відношенням включення (). Множина А може бути своєю підмножиною А  А, але вона не може входити до складу своїх елементів А  А. Навіть у разі одноелементних множин потрібно відрізняти множину A = {a} та її єдиний елемент.

Приклад. A = {{1}, {2, 3}, {4}} у своєму числі елементів містить множину {2, 3}, тоді можна записати 2, 3  {2, 3} і {2, 3}  A. Однак це не означає, що елементи 2 та 3 є в множині А.