14. Структурные средние: мода и медиана; квартили, децили, перцинтили.

Наиболее часто используемыми в экономической практике структур­ными средними являются мода и медиана. Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей часто­той. Медианой называется значение признака, приходящееся на сере­дину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолют­ных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

Вычисление моды и медианы производится различно в зависимо­сти от того, имеем ли мы несгруппированные или сгруппированные данные.

Мода отражает наиболее распространенный вариант значений при­знака.

Для определения медианы необходимо построить упорядоченный (ранжированный) ряд.

Медиана делит упорядоченный ряд на две равные по числу единиц части так, что у половины единиц значение признака меньше медианы, а у другой половины – больше нее. При нечетном числе единиц сово­купности порядковый номер медианы равен:

где n — число единиц совокупности.

Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиа­на определяется как средняя двух центральных значений.

Медиана в отличие от средней арифметической не зависит от мини­мального и максимального значений ряда распределения. Медиана практически выполняет функции средней для неоднород­ной совокупности, а также в тех случаях, когда имеют место резкие различия между максимальным и минимальным значениями изучае­мого признака.

Моду и медиану можно рассматривать как порядковые характе­ристики значения признака у единицы совокупности, занимающей особое место в ряду распределения. Каждая из этих средних величин соответствует конкретному значению признака в отличие от средний арифметической величины, полученной расчетным путем. Средняя арифметическая, так же как мода и медиана, именованная величина, но не совпадает (за редким исключением) по своей величине ни с од­ним значением признака у единиц совокупности. Средняя арифмети­ческая часто используется как показатель центра распределения, поло­жительные и отрицательные отклонения от которого индивидуальных значений признака в сумме взаимно погашаются. Медиана отражает значение признака, сумма отклонений от которого является наимень­шей величиной. Мода является величиной, вокруг которой группиру­ется наибольшее количество единиц совокупности. При нормальном распределении все эти три показателя имеют одинаковую величину.

В отличие от дискретных рядов распределения определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения дополнитель­ных расчетов. Для определения значения моды сначала находят интер­вал, обладающий наибольшей частотой. Затем рассчитывается мода по следующей формуле:

где — нижняя граница модального интервала;

i — величина модаль­ного интервала;

— частота модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, следующего за модальным.

Для определения медианного интервала используют ряд накоплен­ных частот. Медианным является интервал, в котором накопленная численность единиц совокупности составляет более половины их об­щего числа (накопленная относительная численность более 50%). Ве­личина медианы рассчитывается на основе следующей формулы:

где х₀ — нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

i — величина медианного интервала;

— накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

— частота медианного интервала.

Для определения медианного интервала необходимо определять на­копленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит 1 /2 суммы накопленных частот.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оце­нить его асимметрию. Если М₀ <М_е< X, то имеет место правосторон­няя асимметрия, при X <М_е<М₀ следует сделать вывод о левосторон­ней асимметрии ряда.

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Так, например, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, на 10 или на 100 частей. Эти величины называются «квартили», «децили», «перцентили».

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на 4 равновеликие части.

Различают квартиль нижний (Q₁), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q₃), осекающий ¼ часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25 % единиц совокупности будут меньше по величине Q₁; 25 % единиц будут заключены между Q₁ и Q₂; 25 % - между Q₂ и Q₃, а остальные 25 % превосходят Q₃. Средним квартилем Q₂ является медиана.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:

где x_Q1 – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25 %);

x_Q3 – нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75 %);

i – величина интервала;

S_Q1-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

S_Q3-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль;

f_Q1 – частота интервала, содержащего нижний квартиль;

f_Q3 – частота интервала, содержащего верхний квартиль.

Значения признака, делящие ряд на сто частей, называются перцентилями.

Соотношения медианы, квартилей, децилей и перцентилей представлены на рисунке.

15. Понятие вариации и задачи её изучения. Показатели вариации: абсолютные (размах вариации), средние (среднее линейное отклонение, среднее квадратичное отклонение, дисперсия), относительного рассеивания (коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации).

После установления значений характеристик центра распределения (х,М₀,М_е) возникает вопрос, в какой мере индивидуальные значе­ния признака различаются между собой и центральных характеристик от средней. Для этого рассчитываются показатели вариации.

Вариацией признака называют отличие в численных значениях при­знаков единиц совокупности и их колебания около средней величины. Чем меньше вариация, тем более однородна совокупность и более на­дежна (типична) средняя величина.

Исследование вариации в статистике имеет важное значение. Измерение вариации дает возможность оценить степень воздействия на данный признак других варьирующих признаков, установить, например, какие факторы и в какой степени влияют на смертность населения, финансовое положение предприя­тий, урожайность пшеницы и т. п. Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, построении статистиче­ских моделей, разработке материалов экспертных опросов и во многих других случаях.

Наличие вариации значений признаков изучаемых явлений ставит перед статистикой задачи ее исследования: выбор соответствующих измерителей или показателей, характеризующих ее размеры, измере­ние влияния факторов, ее определяющих.

К абсолютным показателям относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклоне­ние. К относительным показателям вариации относятся: коэффициент вариации, относительное линейное отклонение и др.

Размах вариации (R) вычисляется как разность между наибольшим и наименьшим значениями признака.

Величина показателя зависит только от крайних значений призна­ка (амплитуды), но не учитывает всех значений, которые содержатся между ними.

Более совершенным является определение вариации через другие показатели, которые дают возможность устранить недостаток размаха вариации.

Среднее линейное отклонение. Показатель размаха вариации не дает характеристики по распределению отклонений. Распределение откло­нений можно уловить, исчислив отклонения всех вариант от средней. А для того, чтобы дать им обобщающую характеристику, необходимо далее вычислить среднюю из этих отклонений, т. е. разности между значением признака и средней арифметической в данной совокупно­сти единиц.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения значе­ний признака от их средней величины.

Квадратный корень из дисперсии носит название среднего квадратического отклонения от средней. Среднее квадратическое отклонение, так же как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные значения признака от среднего их значения. Среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения.

Среднее квадратическое отклонение измеряет абсолютный размер колеблемо­сти признака и выражается в тех же единицах измерения, что и значе­ния признака (рублях, тоннах, процентах и т. д.). Оно является абсо­лютной мерой вариации.

Кроме показателей вариации, выраженных в абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации (V), выраженные в относительных величинах, особенно для целей сравнения колеблемости различных признаков одной и той же совокупности или для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

Данные показатели рассчитываются как отношение размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции), отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации), отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации) и, как правило, выражаются в процентах.

Чем больше коэффициент вариации, тем менее однородная совокупность и тем менее типична средняя для данной совокупности. В соответствии со свойствами нормального распределения установлено, что совокупность количественно однородна, если коэффициент вариации не превышает 33%.