4.2.1 Необходимые условия устойчивости.
Рассмотрим теорему Стодолы, определяющую необходимые условия устойчивости:
Если система устойчива (все корни левые), то все коэффициенты соответствующего характеристического уравнения положительны.
Характеристическое уравнение линейной системы n-го порядка в общем виде:
a n p n + a n-1 p n-1 +…+a1 p + a0 = 0 (1)
Если p1 , p2 ,…, pn – корни характеристического уравнения, то это уравнение можно записать:
an (p – p1)( p – p2)…( p – pn) = 0 (2)
Система устойчива, если все корни левые. Эти корни могут быть либо действительными, либо комплексно-сопряженными.
Проверим справедливость теоремы.
Для каждого левого действительного
корня характеристического уравнения
p1 = -
,
p2 =
выражение
в скобках уравнения 2 будет положительным,
а при преобразовании к виду 1 все
коэффициенты будут положительны:
Т.е. можно отметить справедливость того, что коэффициенты характеристического уравнения действительно будут положительными.
Рассмотрим теперь пару комплексно-сопряженных
корней характеристического уравнения
p1,2 =
-
Отсюда тоже видно, что коэффициенты характеристического уравнения будут положительными.
Таким образом, установлена справедливость теоремы Стодолы.
Кроме того, нужно отметить, что положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядка.
4.2.2 Критерии устойчивости гурвица.
Большое распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А.Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.
Пусть имеем линейную систему четвертого порядка. Ее характеристическое уравнение будет иметь вид:
a4 p4 + a3 p3 + a2 p2 + a1 p + a0 = 0
Составим матрицу 4
4,
по диагонали которой располагаются
коэффициенты характеристического
уравнения. Строчки матрицы заполняются
в соответствии со старшинством
коэффициентов.
Диагональные миноры, составленные по главной диагонали матрицы Гурвица:
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры в матрице Гурвица были положительны.
Рассмотрим характеристическое уравнение системы третьего порядка:
a3 p3 + a2 p2 + a1 p + a0 = 0
Матрица Гурвица:
Диагональные миноры:
Первый минор a2 > 0;
второй минор a2 a1 – a0 a3 > 0;
третий минор
a2 a1
a0 –
a02
a3 >
0
a2
a1 –
a0 a3
> 0
a2
a1 >
a0 a3
.
Получаем, что для устойчивости линейной системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы произведение внутренних коэффициентов характеристического уравнения было больше произведения наружных коэффициентов.
Уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.
Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает четкого ответа на то, каким образом нужно изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.
Пример. В качестве примера рассмотрим следящую систему отработки угла.
Здесь Wип – передаточная функция измерительного преобразователя:
,
(1)
Wу – передаточная функция усилителя:
,
(2)
WД – передаточная функция двигателя постоянного тока:
.
(3)
(4)
Отсюда получаем:
Из выражения (4) и условий (1), (2), (3) получаем характеристическое уравнение по правилу:
M
+ N
= 0 - характеристическое уравнение.
В результате получим характеристическое уравнение:
pT0 (1+pT2) (1+pT1) + kип kу kд = 0
k = kип kу kд - статический петлевой коэффициент усиления
T0 T1 T2 p3 + T0(T1 + T2 )p + T0 p + k = 0
По критерию устойчивости Гурвица для систем третьего порядка получаем:
T02 (T1 + T2 ) > k T0 T1 T2
k
<
Уменьшение коэффициента усиления увеличивает запас устойчивости, но увеличивает ошибки системы.
Последнее соотношение можно отобразить на плоскости параметров, т.е. произвести D-разбиение плоскости параметров.
Если T2 >> T1,
то k <
kT1 = T0 – граничный случай
Пусть Т0 = 1с kT1 = 1
