4.3.3 Критерии устойчивости найквиста.

 

В 1932 г. Найквистом был опубликован критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике  разомкнутой системы. Первоначально критерий предназначался для исследования радиотехнических усилителей с обратной связью, но вскоре он получил широкое распространение для исследования устойчивости следящих систем и систем автоматического регулирования. [5]

Рассмотрим некоторую разомкнутую систему:

 

рис.1

 

Соответствующая ей замкнутая система:

 

рис.2

 

Замыканием системы считается подача выходного сигнала с обратным знаком на вход. Как уже было сказано ранее, критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по годографу разомкнутой системы. Рассмотрим передаточные функции систем и выясним их взаимосвязь.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

.                                     (1)

 

Тогда знаменатель из этой формулы будет представлять собой характеристический полином разомкнутой системы:

.                   (2)

С учетом передаточной функции разомкнутой системы составим передаточную функцию замкнутой системы:

.           (3)

 

Пусть , тогда - характеристический полином замкнутой системы, причем, если в выражении (1) имеет порядок n, а имеет порядок m (m n), то степени полиномов  и  одинаковы.

Введем некоторую вспомогательную функцию :

 .                             (4)

или

.                           (5)

Выражение (4) получается при подстановке вместо  выражения, которое устанавливает зависимость между  и .

Выражение (5) получается при подстановке вместо  и  выражений (3) [с учетом  замены ] и (1) соответственно.

В выражении (4) и (5) также произведена замена .

Вспомогательную функцию  можно также представить в виде:

Рассмотрим изменение аргумента  вспомогательной функции при изменении частоты от 0 до . При этом, исходя из выражения (5), учтем, что аргумент частного равен разности аргументов  и  .

      (6)

Из темы о принципе аргумента известно, что если - характеристический полином, то

,            (7)

где - количество правых полюсов, а - общее количество полюсов. Тогда, учитывая, что в замкнутой системе для устойчивости все полюса должны быть левыми, выражение (6) с учетом (7) преобразуется:

              (8)

Здесь  - количество правых полюсов разомкнутой структуры. Отсюда делаем вывод, что для того, чтобы замкнутая структура была устойчивой годограф вспомогательной функции  должен охватывать начало координат комплексной плоскости в положительном направлении на угол . Теперь перейдем в последней формулировке от вспомогательной функции к передаточной функции разомкнутой системы.

Так как в нашей формулировке годограф вспомогательной функции охватывает начало координат, то

 

То есть мы получаем, что для устойчивости замкнутой структуры необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф разомкнутой структуры охватывал точку с координатами (-1; 0) в положительном направлении на угол .

Поскольку разомкнутая система может быть устойчивой и неустойчивой, то возможно два случая. Рассмотрим их.

А) Разомкнутая система устойчива.

Так как система устойчива, то у нее все полюса левые, а значит . То есть мы получаем, что если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости эквивалентной замкнутой системы годограф разомкнутой не должен охватывать точку (-1;0).

      устойчивая система                      неустойчивая система

          устойчивая система

рис.3

 

 

Б) Разомкнутая система неустойчива.

Так как система неустойчива, то у нее имеются правые корни, то есть .

Этот случай может возникнуть в следующих случаях:

1)      местные обратные связи;

2)      в разомкнутой системе есть неустойчивые звенья.

 

 

Таким образом, если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы охватывал точку (-1;0) в положительном направлении (против хода часовой стрелки) на угол .



 

                                  рис.5

 

 

Следует также отметить условия охвата точки (-1;0):

.

Здесь  - передаточная функция разомкнутой системы.

Пример. Рассмотрим трехполюсный усилитель:

 

Разомкнутая система, имеющая такую передаточную функцию устойчива.

В этом случае в зависимости от значения   можно получить различные результаты (см. рис. 6):

При  система теряет устойчивость.

 можно найти из условий:

.

 

 

Системы, которые при  устойчивы называют асимптотически устойчивыми системами. Существуют также системы, которые теряют устойчивость, как при увеличении , так и при его уменьшении. Такие системы называются условно устойчивыми.

Сформулируем полностью критерий Найквиста:

В системах, которые устойчивы в разомкнутом состоянии, для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы не охватывал точку (-1;0). Для систем же, которые неустойчивы в разомкнутом состоянии, для устойчивости замкнутой системы годограф разомкнутой должен охватывать эту точку на угол в положительном направлении.