Глава 4. Устойчивость линейных систем.
Самое первое требование, предъявляемое к системе, состоит в том, чтобы она была способна выполнять свои функции устойчиво. «Термин «устойчивость» настолько выразителен, что он сам за себя говорит» [5]. Но для математического анализа устойчивости требуется ее количественная характеристика.
Рассмотрим вначале понятия устойчивости равновесия и устойчивого движения.
Для исследования устойчивости равновесия предполагают, что система под действием внешнего толчка отклонилась от положения равновесия, и изучают те силы, которые возникают в результате этого отклонения. Если они в силу свойств системы стремятся вернуть систему в положение равновесия при любом направлении отклонения, равновесие устойчиво; если они стремятся увеличить отклонение, равновесие неустойчиво.
В случае движения системы заданное движение можно назвать невозмущенным движением. Приложение внешних сил к рассматриваемой системе вызовет отклонение действительного движения от заданного. Это движение будет возмущенным. Заданное невозмущенное движение называется устойчивым, если в результате приложения внешних сил, которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область.
Теперь, основываясь на этих понятиях, рассмотрим устойчивость систем автоматического управления.
4.1 Математическое определение устойчивости. Расположение корней характеристического уравнения в устойчивой системе.
Пусть имеется некоторая линейная система:
Эта линейная система описывается следующим дифференциальным уравнением:
(1)
Решение этого дифференциального уравнения представляется в виде суммы:
х = хСВ + хВЫН (2)
Здесь хСВ представляет собственные переходные процессы и является общим решением однородного дифференциального уравнения, хВЫН представляет процессы, возникающие вследствие внешнего воздействия, и является частным решением неоднородного дифференциального уравнения.
Система называется устойчивой, если собственные переходные процессы являются затухающими. Математически это можно записать:
(3)
Найдем эту составляющую. Для этого необходимо решить уравнение (1) без правой части.
(4)
Использовав преобразование по Лапласу, приходим к уравнению:
(5)
Полученное алгебраическое уравнение называется характеристическим. Корни его p1 , p2 ,…, pn будут определять характер переходного процесса в системе.
Решение уравнения (4) представляется в виде:
,
(6)
где r- кратность корня.
Рассмотрим различные положения корней характеристического уравнения (5) и влияние этого положения на устойчивость системы.
Корни могут быть левые (p1 , p2 , p3), правые (p4 , p5 , p6), нейтральные (p7 , p8 , p9).
pi
=
1) Левые корни
а)
p1
= -
,
r
=1
Из (6) получим:
б) p1 = - , r =2
Из (6) получим:
в) p2,3
= -
,
r
=1
Из (6) получим:
=
=
г) p2,3
= -
,
r
=2
Из (6) получим:
=
Вывод: левым корням соответствуют затухающие переходные процессы.
1) Правые корни.
а) p4
=
,
r
=1
Из (6) получим:
=
б) p5,6
=
,
r
=1
Из (6) получим:
=
2) Нейтральные корни
а) p8,9
=
,
r
=1
Из (6) получим:
=
б) p7=0, х = c = const
Наличие нулевого корня показывает, что система устойчива не по отношению к , а по отношению к производной от .
Вывод: звено или система устойчива, если все корни характеристического уравнения левые. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая плоскость при этом представляет собой область устойчивости.
Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода будет так называемая граница устойчивости системы. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:
1) нулевого корня;
2) пары чисто мнимых корней;
Во всех случаях предполагается, что все остальные корни имеют отрицательные вещественные части.
4.2 алгебраические критерии устойчивости.
Для определения устойчивости системы нужно знать только расположение корней ее характеристического уравнения.
Существует ряд критериев, позволяющих определить устойчивость системы без решения соответствующего дифференциального уравнения. Все критерии устойчивости делятся на две группы: алгебраические критерии устойчивости и частотные критерии устойчивости.
Алгебраические критерии устойчивости позволяют определить устойчивость системы по коэффициентам соответствующего характеристического уравнения.