7.1 Линейная интегральная оценка.

Данная оценка применяется для оценки монотонных переходных процессов. Линейная интегральная оценка обозначается через .

,

.

 

 - ошибка рассогласования.

 

Линейная интегральная оценка определяется следующим  образом:

.

 

Чем меньше оценка, тем лучше переходный процесс, тем лучше качество управления.

Достоинство данной оценки, то что ее можно вычислить, не вычисляя интеграл. Рассмотрим систему -го порядка, которая описывается следующим дифференциальным уравнением:  

.

Проинтегрируем уравнение в пределах от 0 до :

 

Пусть  система устойчива, т.е. .

 - начальные условия.

Определим из последнего соотношения интегральную оценку:

,

 

т.е. для того чтобы найти линейную интегральную оценка, необходимо знать параметры системы и начальные условия.

Недостатком подобного метода определения качества управления является то, что он пригоден только для монотонных процессов. При немонотонных переходных процессах, за счет алгебраического суммирования различных по знаку площадей в графике , оценка  мала, хотя сам переходный процесс плохой.

 

7.2 Квадратичная интегральная оценка.

Для колебательных переходных процессов применяют квадратичную интегральную оценку , представляющую площадь, ограниченную кривой  и осью абсцисс.

.

Данную оценку также можно вычислить по дифференциальному уравнению системы.

Пример:  разомкнутая система имеет следующую передаточную функцию:

.

Передаточная функция, связывающая задающий сигнал и ошибку, имеет следующий вид:

Ошибка определится следующим образом:

.

      

 

Найдем квадратичную оценку, пользуясь формулами Парсиваля – Рэлея [5 ]; позволяющим вычислять квадратичные интегралы вида    по Лапласовским изображениям подинтегральной функции:

.

 

7.3 Усовершенствованная квадратичная интегральная оценка.

Для учета кратковременных, больших по амплитуде выбросов используют усовершенствованную квадратичную оценку. Она обозначается .

.

В улучшенной интегральной оценке введено значение производной   и коэффициент .

Найдем минимум оценки:

,

.

Если

,

то интегральная оценка принимает минимально возможное значение:

.

 определяет длительность переходного процесса:

.

Выбор определяется желаемой длительностью переходного процесса.

Пример: расчет системы по минимуму ошибки :

,

 - рассогласование.

Усовершенствованная оценка определяется как сумма:

.

Передаточная функция разомкнутой системы:

.

Передаточная функция, связывающая задающее воздействие и рассогласование, имеет следующий вид:

.

.

Т.к. порядок  данного уравнения  равняется двум, то ошибка находится следующим образом [5]:

,

где .

.

.

Найдем лапласовское изображение производной:

,

.

.

.

Найдем , при котором оценка принимает минимальное значение:

,

.

 

 

Ключевые термины и понятия. 

Квадратичная интегральная оценка. Определяется как  и вычисляется по формулам Парсеваля, связывающих значение интеграла с коэффициентами

Лапласовского изображения подинтегральной функции. Пригодна также  для колебательного переходного процесса.

Линейная интегральная оценка. , где  - ошибка рассогласования. Наилучшая система та, в которой эта оценка имеет минимальное значение. Может быть вычислена по коэффициентам характеристического уравнения (параметрам системы) и начальным условиям. Пригодна только для монотонных переходных процессов.

Оценка качества.  Количественная мера качества системы.

Усовершенствованная квадратичная интегральная оценка. . Введение в подинтегральную функцию производной ошибки позволяет учесть

кратковременные большие по амплитуде выбросы. Вычисляется аналогично квадратичной интегральной оценки .

глава 8. корневые методы оценки качества управления. 

8.1 Введение

 

Об оценке качества управления можно судить по расположению полюсов замкнутой системы (т.е. по расположению корней характеристического уравнения замкнутой системы).  

,

 - корни характеристического уравнения (полюса замкнутой системы).

Переходный процесс, если нет нулей, полностью зависит от положения полюсов. Для устойчивости системы необходимо, чтобы все полюса замкнутой системы  были левые.

Все корни характеристического уравнения находятся внутри трапеции (рис. 24).

 - ближайший к мнимой оси к орень, степень устойчивости.

 - самый далекий от мнимой оси корень,

 - колебательность системы.

Наибольшее влияние на длительность переходного процесса оказывают корни ближайшие к мнимой оси. Если влияние оказывают только ближние корни, то длительность переходного процесса определяется следующим образом:

 

,

,

.

 

 

Чем больше степень устойчивости, т.е. чем дальше от мнимой оси расположен полюс, тем короче переходный процесс, выше быстродействие с истемы.

 

.

 

 

Логарифмический декремент затухания определяется следующим образом:

,

тогда колебательность системы:

.

Т.о.  пропорциональна количеству колебаний, которые совершает система в период времени, за которое амплитуда колебаний уменьшится в  раз.

 

8.2 СМЕщЕННОЕ характеристическое уравнение для замкнутой системы. определение степени УСТОЙЧИВОСТИ. 

 

Р ассмотрим некоторую замкнутую систему, которая описывается следующим характеристическим уравнением:

.

Из данного уравнения, чтобы определить степень устойчивости системы , найдем ближайший к мнимой оси корень.

Введем новую переменную

.                       (*)

Увеличивая , как бы отодвигаем влево мнимую ось Im на величину . При некотором  значении ,  система в новой переменной  теряет устойчивость. Это означает, что мнимая ось натыкается на ближайший к мнимой оси корень системы, что позволяет определить степень устойчивости исходной системы.

Из выражения (*) получим следующее:

.

Подставим последнее соотношение в исходное характеристическое уравнение:

,

где  - некоторые функции, зависящие от коэффициентов характеристического уравнения   и  .

Составим матрицу Гурвица:

.

,                                      (**)

где  - ( ) – диагональный минор матрицы.

Соотношение (**) может выполняться в двух случаях, если  или .

1)      Если первым обращается в ноль , то это означает, что есть корень , откуда получим, что . Т.е. ближайшим к мнимой оси будет вещественный отрицательный корень.

2)      Если первым обращается в ноль , то ближайшим к мнимой оси будет комплексно-сопряженный корень.

Функции  можно найти, разложив полином  в ряд Тейлора  в окрестности точки  .

Пример: задано следующее характеристическое уравнение

,

необходимо найти степень устойчивости системы .

,

,

,

,

.

Составим матрицу Гурвица:

,

.

.

Из  последней системы найдем значение  (вещественные положительные значения):

.

Применение смещенного уравнения целесообразно применять в системах высокого порядка. Если основное влияние на переходный процесс оказывает только ближайший к мнимой оси корень и он некратный, то длительность переходного процесса определяется следующим образом:

,  .

 

 

 

 

График для минимального переходного процесса называется минорантой.

Наиболее длительный переходный процесс получается, если на него оказывает влияние ближайший к мнимой оси корень, и он кратный:

,

где - кратность корня.

График для максимального переходного процесса называется мажорантой.

 

8. 3 диаграммы ВЫшнеградского  для систем третьего порядка. 

 

Замкнутая система имеет следующее характеристическое уравнение:

.

Чтобы воспользоваться диаграммами Вышнеградского уравнение необходимо записать в форме Вышнеградского, т.е. уравнение необходимо пронормировать:

.

.

Вводим новую переменную :

.

Получаем уравнение в форме Вышнеградского.:

,

, ,

где ,  параметры Вышнеградского.

Диаграммы Вышнеградского изобразим в плоскости параметров.

Линия  - определяет границу устойчивости системы по Гурвицу (штриховка направлена в область не устойчивости).

Если , то

,

,

,

.

В области CEF все корни – вещественные отрицательные. В области CAF – ближайший корень комплексно-сопряженный, остальные вещественные отрицательные. В области DCE - ближайший корень вещественный, остальные комплексно-сопряженные.

На диаграмме Вышнеградского (рис. 26) обычно показаны линии одинаковой степени устойчивости (изображены пунктиром) и линии одинаковой колебательность (изображены прерывистой линиями). Наибольшая степень устойчивости в точке С.  

8. 4  корневой годограф: построение корневого годографа и примеры корневого годографа. 

 

Корневой годограф - траектории корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении  одного из параметров системы (обычно статического коэффициента передачи) от 0 до . 

Разомкнутая система описывается следующей передаточной функцией:

.

,

где  - нули системы,  - полюса системы.

Тогда замкнутая система имеет следующую передаточную функцию:

.

Характеристическое уравнение замкнутой структуры:

, где .

При  и , т.е. годограф начинается в точках, соответствующих корням полинома  - полюсам  .

Пусть полином   имеет  степень , а полином  степень :

,

,

если , то .

,             (*)

.

Из выражения (*) получим уравнение модулей:

и уравнение фаз:

, где .

В каждой точке годографа должно выполняться уравнение фаз (рис. 27):

 

Если  в процессе построения годографа уравнение не выполняется, то точка, где проверяется уравнение, смещается.

Т.о. ветви годографа замкнутой структуры начинаются в полюсах разомкнутой структуры  и заканчиваются в нулях разомкнутой структуры, но т.к. , то  корней уходят в бесконечность.

примеры корневых годографов. 

 

1.      Разомкнутая система имеет следующую передаточную функцию:

.

Данная система имеет 3 полюса, нулей нет.

Ветви корневого годографа начинаются в  полюсах , а заканчиваются в бесконечности.

Полюса:

.

Значение , соответствующее переходу корней из левой полуплоскости в правую, можно подсчитать с помощью критерия Гурвица, или с помощью уравнения фаз.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

,

.

2.      Разомкнутая система имеет следующую передаточную функцию:

.

Нули:

.

Полюса:

.

Характеристическое уравнение имеет следующий вид:

,

,

,

.

 

 

Система является устойчивой, если   и .

Система является неустойчивой, если  .

3. Рассмотрим следующую структуру:

 

 изменяется от  до . Необходимо найди те значения , при которых система имеет максимальное быстродействие.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет следующий вид:

.

Характеристическое уравнение:

,

.

Если , то .

Т огда время переходного процесса определится как:

.

Т.о. для того чтобы время переходного процесса было минимально, необходимо такое значение , при котором

,

а корни были бы кратными.

,

,

,

.

 

 

8.5 основные свойства корневых годографов [8]. 

 

1.      Корневые годографы непрерывны и симметричны относительно действительной оси, т.к. комплексные корни всегда комплексно-сопряженные. 

2.      Число ветвей корневого годографа равняется порядку системы.

3.      Действительная ось может быть ветвью корневого годографа, если число действительных полюсов и нулей, расположенных справа от этого участка нечетное, в противном случае уравнение фаз не выполняется

.

В примере на рис. 28 для отрезка АВ  уравнение фаз выполняется. Уравнение фаз для отрезка ВС не выполняется, следовательно, участок между В и С не может быть ветвью годографа.

4.      Ветви годографа замкнутой структуры начинаются в полюсах разомкнутой структуры  и заканчиваются в нулях разомкнутой структуры;  - ветвей годографа уходят в бесконечность, где   - количество полюсов,  - количество нулей разомкнутой структуры.

5.      Асимптоты  ветвей, уходящих в бесконечность, строятся следующим образом (рис. 29). Точки, из которых начинаются асимптоты:

,

.

Если , то

,  ,  .

6.      Пересечение ветвей годографа  с мнимой осью находятся или из условия устойчивости, или из уравнения фаз.

7.      Точки пересечения ветвей годографа с действительной осью. Эти точки, в которых возникают кратные корни. Их можно найти тремя способами.  Во-первых, из условия равенства нулю дискриминантов характеристического уравнения замкнутой структуры.

Во-вторых: если

,

то характеристическое уравнение замкнутой структуры:

   

.                       (*) [9]

Уравнение (*) позволяет найти координаты кратных точек.

В-третьих, учтем, что ветви годографа от точек пересечения с действительной осью уходят в бесконечность под углом примерно равным : 

 

Н а рис. 30  - малое приращение. Заменим малые углы их тангенсами, тогда точки пересечения с действительной осью найдутся как:

 

Последнее уравнение позволяет найти координату точки пересечения .

8.   8. Углы выхода корневых траекторий из полюсов и входы в нули определяются по уравнению фаз.

 

9.   9. При  с увеличением  ветви корневого годографа расходятся в разные стороны. Для динамики переходного процесса существенным является группа корней приближающихся к мнимой оси. Группа корней  наиболее близкая к мнимой оси называются доминирующими корнями или полюсами. Рассмотренная динамика переходного процесса позволяет учитывать только близкие корни, т.е. система высокого порядка сводится к системе более низкого порядка. Надо, однако, иметь виду, что если на свободные составляющие переходного процесса дальние левые полюса почти не влияют, то на величину К - статического коэффициента передачи – они могут оказывать существенное влияние. 

10.  При построении корневого годографа полезными являются соотношения между коэффициентами и корнями:

,

. 

 

 

Ключевые термины и понятия.

 

Асимптота. Линия, к которой стремится ветвь корневого годографа при увеличении варьируемого параметра до бесконечности. Количество асимптот равно разности между числом полюсов  и нулей передаточной функции разомкнутой системы.

Вышнеградского диаграмма. Диаграмма, позволяющая для систем третьего порядка по коэффициентам характеристического уравнения определить тип корней и характер переходного процесса.   

Корневой годограф. Траекторий корней характеристического уравнения систем на р-плоскости при изменении одного из параметров системы (обычно статического коэффициента передачи) от нуля до бесконечности.

Колебательность системы. Абсолютная величина отношения мнимой части к действительной части корня характеристического уравнения системы, который имеет наибольшее значение этой величины.

Степень устойчивости. Абсолютная величина действительной части ближайшего к мнимой оси корня.

 

Глава 9. обеспечение заданного качества управления. синтез линейных систем.

 

При проектировании систем автоматического управления, как правило, используют два метода синтеза: полный синтез и частичный синтез. При полном синтезе исходными данными являются объект управления и цели управления. При частичном синтезе дана некоторая неизменяемая часть структуры; нужных показателей добиваются введением в нее корректирующих звеньев.

Мы в данном курсе будем заниматься частичным синтезом.

Существует два основных метода частичного синтеза: метод корневого годографа и метод частотных характеристик.

 

9.1 синтез ЛИНЕЙНЫХ систем методом корневого годографа.

9.1.1 корректирующие звенья, используемые при синтезе методом корневого годографа.

 

При частичном синтезе систем автоматического управления используют следующие корректирующие звенья:

1)      Дифференциальное  звено;

2)      Интегральное (дипольное) звено;

3)      Интегро-дифференцирующее звено.

Рассмотрим каждое из звеньев в отдельности.

1. Дифференциальное звено. Дифференциальное (опережающее) звено позволяет улучшить динамику переходного процесса.

Передаточная функция дифференциального корректирующего звена следующая:

                                     (1)

Или можно еще записать:

                                     (2)

 

Принципиальная схема этого корректирующего звена может иметь вид:

 

рис.1

 

Сопоставим номиналы элементов схемы с параметрами передаточной функции (1).

 

Пример. Пусть дана система, передаточная функция которой следующая:

 

Время переходного процесса можно рассчитать по формуле:

Здесь  - модуль ближайшего к мнимой оси полюса. Тогда получаем, что  

Введем следующее корректирующее звено:

 

Поскольку на поведение системы большее влияние оказывают корни характеристического уравнения, лежащие ближе к мнимой оси, то мы стараемся избавиться от этих корней. Поэтому числитель корректирующего звена в конечной структуре должен исключить этот корень.

В конечном счете, получаем:

.

Рассчитаем теперь время переходного процесса:

 

Таким образом,  введением корректирующего звена мы сократили время переходного процесса с 1.5сек. до 0.5сек.

2. Интегральное (дипольное) звено. При интегральной коррекции для увеличения К вводится диполь. Диполем назовем нуль и полюс, близко расположенные друг к другу и около начала координат. Интегральная коррекция позволяет путем введения диполя увеличить коэффициент усиления и, следовательно, уменьшить погрешность.

Передаточная функция интегрального звена следующая:

                                   (3)

Или с помощью несложных математических операций можно перейти к виду:

                              (4)

Здесь , .

 

Принципиальная схема этого корректирующего звена может иметь вид:

рис. 2

Соотношения между параметрами схемы и передаточной функцией (3):

.

 

3. Интегро-дифференцирующее звено. Интегро-дифференцирующая коррекция включает в себя свойства  дифференциальной и интегральной коррекции. Вводя дифференциальную цепочку, мы обеспечиваем динамику переходного процесса, а затем, вводя интегральную цепочку, т.е. вводя в систему диполь, мы обеспечиваем необходимое значение коэффициента передачи, т.е. точность системы.

Передаточная функция звена:

                     (5)

 

Принципиальная схема может иметь вид:

рис.3

 

 

9. 1. 2 синтез линейной системы методом корневого годографа.  пример.

 

Корневым годографом называется траектория корней характеристического уравнения замкнутой структуры на комплексной плоскости при изменении одного из параметров системы, обычно, статического коэффициента усиления. Корневой годограф представляет собой непрерывные  линии, симметричные относительно действительной оси. Число ветвей  корневого годографа равно порядку системы, т.е. числу полюсов разомкнутой структуры.

При синтезе систем путем введения корректирующих звеньев методом корневого годографа   используют следующие виды корректирующих звеньев: дифференциальное, интегральное и интегро-дифференцирующее. На систему оказывают большее влияние корни, лежащие ближе к мнимой оси и мы пытаемся при помощи корректирующих звеньев избавиться от этих корней или отодвинуть их от мнимой оси. Дифференцирующее звено позволяет улучшить динамику переходного процесса. При интегральной коррекции для увеличения К вводится диполь. Диполем назовем нуль и полюс, близко расположенные друг к другу и около начала координат. Интегральная коррекция позволяет путем введения диполя увеличить коэффициент усиления и, следовательно, уменьшить погрешность. Интегро-дифференцирующая коррекция включает в себя свойства  дифференциальной и интегральной коррекции. Вводя дифференциальную цепочку, мы обеспечиваем динамику переходного процесса, а затем, вводя интегральную цепочку, т.е. вводя в систему диполь, мы обеспечиваем необходимое значение коэффициента усиления, т.е. точность системы.

 

Пример на применение метода корневого годографа: Пусть передаточная функция разомкнутой исходной структуры:

 

 

Приступая к коррекции, полезно иметь представление о корневом годографе исходной системы (рис.1), здесь p₁, p₂, p₃ – полюса разомкнутой исходной системы.

рис.1

 

Путем коррекции необходимо обеспечить:  t_п≤1,5 с;  К_N=30  

σ% < 5%.

где t_п – длительность переходного процесса;

K_N – статический коэффициент передачи, определяемый погрешностью ε, в номинальном режиме;

σ% - перерегулирование.

ξ – затухание: отношение действительной части доминирующего корня характеристического уравнения замкнутой структуры к его мнимой части.

δ – действительная часть корня; ω – мнимая часть корня.

Для нахождения затухания ξ по заданной величине перерегулирования σ% можно использовать график σ%=f(ξ), приведенный на (рис.2) , либо воспользоваться формулой:

                                         [5]

 

Рис. 2

 

Следовательно, доминирующий корень должен располагаться на линии m (рис.1).

Выбор в качестве доминирующего корня   S₁= -2 + j2,8 преследует две цели: обеспечить заданное перерегулирование σ% и заданную длительность переходного процесса.

Последовательность расчета: вводя дифференциальную цепочку, мы обеспечиваем динамику переходного процесса, а затем, вводя интегральную цепочку, т.е. вводя в систему диполь, мы обеспечиваем необходимое значение коэффициента усиления, т.е. точность системы.

Фазовые соотношения в S₁ (предполагается, что полюс p₂ будет скомпенсирован соответствующим нулем корректирующей цепочки)

Следовательно, точка S₁ не может принадлежать траектории корней исходной нескорректированной системы.

Введем дополнительный полюс P₀  и нуль N₀ с таким расчетом, чтобы полностью скомпенсировать полюс p₂=-2 нулем N₀=-2 и выполнить в точке S₁ уравнение фаз.

Тогда уравнение фаз в S₁ можно записать так:

где θ₀ угол от полюса p₀:

Рис. 3

 

Из треугольника P₀N₀S₁ (рис.3) легко определить координату полюса P₀:

Итак, для того, чтобы S₁ действительно стали доминирующими полюсами системы необходимо последовательно ввести опережающее (дифференцирующее) звено с передаточной функцией:

Запишем для S₁ уравнение модулей:

Соответствующий этому значению «С» коэффициент усиления

Что много меньше необходимого значения K_N=30.

Для того, чтобы повысить коэффициент усиления вводится интегральное корректирующее звено, создающее в плоскости корней дипольную пару.

Выбираем нуль диполя:

Найдем полюс Р_д из условий заданного коэффициента усиления K_N.

Чем больше К_N, тем меньше /

Расположение Р_д и N_д дано на рис.4.

  

Рис. 4

 

Передаточная функция скорректированной системы:

 

  На рис. 5 приведена схема интегро-дифференцирующего корректирующего звена.

 

Рис. 5

 

«Данный пример показывает, каким мощным орудием расчета является метод корневых годографов и синтез САУ в плоскости р. Радикальное улучшение статических и динамических свойств достигается при помощи простой интегро-дифференцирующей цепи, параметры которой определяются путем весьма простых построений и вычислений» [8]. 

 

основные этапы синтеза линейной системы методом корневого годографа. 

 

 

1)   Выяснение исходных данных.

Необходимо определить передаточную функцию разомкнутой системы и требуемые качественные показатели системы (требования, предъявляемые к переходной функции: время переходного процесса, перерегулирование функция затухания, статический коэффициент передачи ).

2)   Передаточная функция выражается через координаты ну                 лей и полюсов. Они отмечаются на комплексной плоскости.

3)   Выбирают положения доминирующих полюсов.

4)   Вводят дифференцирующее корректирующее звено, обеспечивающее выполнение уравнение фаз и нейтрализацию других ближайших к мнимой оси полюсов исходной системы. Нейтрализация осуществляется за счет нулей корректирующего звена.

5)   Составляется уравнение модулей для доминирующих полюсов, и определяются соответствующее ему значение коэффициента усиления К.

6)   Если , то вводится интегральное (дипольное) корректирующее звено, с помощью которого обеспечивается нужное значение К.

После последовательной коррекции структура разомкнутой системы имеет вид:

 

9. 2 синтез линейных систем методом коррекции частотных характеристик разомкнутой системы. пример.

 

При проведении коррекции по ЛАЧХ эквивалентной разомкнутой структуры мы пользуемся понятиями исходная L_и и желаемая L_g ЛАЧХ. При выборе желаемой характеристики следует пользоваться следующими рекомендациями:

-         Для обеспечения устойчивости частота среза должна располагаться на участке –20 дb/дек.

-         Эта частота среза должна быть близкой, по возможности, к исходной частоте среза, т.к. уменьшение частоты среза уменьшает полосу пропускания и, следовательно, увеличивает длительность переходного процесса, т.е. уменьшает быстродействие системы.

-         На низких частотах, чтобы не увеличивать погрешность в установившемся режиме и не усложнять реализацию корректирующего звена желаемая и исходная ЛАЧХ обычно совпадают. На высоких частотах для упрощения корректирующего звена также желательно совпадение желаемой и исходной ЛАЧХ.

-         Для облегчения выбора параметров корректирующего звена надо, чтобы желаемая ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего звена были близки к стандартным (набор стандартных звеньев имеется почти во всех книгах по ТАУ [3,4,5]).

 

Пример коррекции по ЛАЧХ эквивалентной разомкнутой структуры:

Пусть передаточная функция разомкнутой структуры равна:

.

 

График ЛАЧХ соответствующий Wи в асимптотическом приближении дан на рис. 1.

 

 

    

Рис.1

 

 

На рис.1 введены обозначения:

1- участок с наклоном  - 20 db/Дек

2- участок с наклоном   - 40 db/Дек

3- участок с наклоном   -60 db/Дек

Корректирующее звено включено последовательно, поэтому

Чтобы избавиться от колебательности переходного процесса и соответствующего ей малого запаса устойчивости системы ,  введем корректирующее звено такое, чтобы частота среза располагалась на участке с наклоном  -20дb/дек.

Одним из самых популярных корректирующих звеньев является интегро-дифференцирующее звено с такой ЛАЧХ.:

рис. 2

Более подробно этот материал изложен в [5] и [12].

 

9. 3 коррекция линейных систем по показателю колебательности. Диаграммы Холла.

 

Показателем колебательности называется максимальное значение абсолютной величины комплексного коэффициента передачи замкнутой структуры.

Рассмотрим некоторую разомкнутую структуру:

 

 

Комплексный коэффициент передачи этой разомкнутой структуры имеет вид:

                                  (1)

Теперь рассмотрим эквивалентную замкнутую структуру:

 

                                                              

Передаточная функция замкнутой структуры следующая:

                                 (2)

 

Если теперь выделить модуль, то получим показатель колебательности:

                            (3)

 

Теперь построим на комплексной плоскости линии постоянных значений

Линии постоянных значений показателя колебательности, построенные на комплексной плоскости (Re,Im), называются диаграммами Холла.

Уравнение этих линий следующее:

                               (4)

 

здесь

                                                (5)

 

Действительно, с помощью следующих математических выкладок можно из (3) получить (4):

Подставим выражение (5):

 

Рассмотрим левую часть полученного выражения:

В результате получаем выражение (4).

Это окружность с радиусом  и координатами центра:

                             (6)

 

Рассмотрим различные варианты значений показателя колебательности.

1.     

       

 

Но окружность с бесконечным радиусом – это прямая.

Найдем точку пересечения этой прямой с действительной осью:

2.     

Тогда из выражения  при .

Найдем центр окружности при :

 

Таким образом,  диаграммы Холла имеют вид:

 

3.     

Радиус окружности при :

Центр окружности:

 

Следовательно диаграммы Холла при  имеют вид:

 

Пример. Пусть имеется устойчивая разомкнутая структура, тогда для устойчивости замкнутой необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой не охватывал точку (-1;0).

 

Если имеет место годограф 1, то замкнутая система неустойчива, если годограф 2 – замкнутая система устойчива, но показатель колебательности больше 1.5, если же годограф 3 – система  устойчива и показатель колебательности М<1.5.

 

Ключевые термины и понятия.

 

Дипольная пара. Нуль и полюс, расположенные близко друг к другу и к началу координат р-плоскости. Вводятся в систему с помощью интегрального корректирующего звена с целью повышения коэффициента усиления.

Доминирующие полюса. Полюса системы, оказывающие наибольшее влияние на динамику переходного процесса.

Корректирующее устройство. Элемент или схема, дополнительно вводимые в систему с целью улучшения ее качеств.

ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный). Регулятор, содержащий два параллельные каналы: один канал формирует сигнал, пропорциональный ошибке системы, другой канал формирует сигнал, пропорциональных интеграла от ошибки. Выходной сигнал регулятора равен их сумме.

Синтез систем управления. Многоэтапная процедура, связанная с выбором структуры системы и определением входящих в нее элементов и их параметров. При этом часто приходится искать компромисс между несколькими конфликтующими критериями синтеза системы.