2.9 Звено с чистым (транспортным) запаздыванием.

Н аиболее распространенным в практике автоматических систем является транспортное звено, обусловленное пространственным перемещением элементов, передающих информацию.

1. Передаточная функция. Частотные и временные характеристики звена.  Уравнение динамики звена с запаздыванием имеет вид:

.

Перейдем к операторной форме записи уравнения, для этого применим преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях:  

.

Передаточная функция  звена  с запаздыванием

.

Частотные характеристики получаются путем замены в выражении передаточной функции комплексной переменной  на  :

.

Годограф для данного звена является окружностью единичного радиуса, с центром в начале координат (рис. 41).

   - вектор поворота, где  - угол поворота.

Тогда ЛАЧХ примет вид: 

,

т.е. ЛАЧХ  для данного звена совпадает с осью абсцисс.

,

фаза нарастает неограниченно с увеличением частоты.

Графики ЛАЧХ и ФЧХ представлены на рис. 42.

Графики переходной характеристики и весовой функции представлены на рис. 43 и рис. 44.

 

2. Примеры  звена с транспортным запаздыванием.

-        Длинные трубопроводы и линии электропередач.

-        Запись и считывание информации с помощью лентопротяжного механизма ( рис. 45):

,

        где   -  длина ленты,  - скорость ленты.

 

Ключевые термины и понятия.

Амплитудно-частотная характеристика.  Зависимость модуля комплексного коэффициента передачи  от частоты, обычно в логарифмическом масштабе.

Годограф системы.  Линия, которую описывает на комплексной плоскости конец вектора  при изменении частоты от нуля до бесконечности.

Импульсная переходная функция (весовая функция). Временная функция выходного сигнала при входном воздействии в виде дельта функции .

Комплексный коэффициент передачи (ККП). Передаточная функция в частотной области , возникающая при замене .

Переходная функция.  Временная функция выходного сигнала при входном воздействии в виде единичной функции 1(t).

Передаточная функция.  Отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Преобразование Лапласа.  Интегральное преобразование функции времени f(t) в функцию комплексной переменной F(p).

Фазо – частотная характеристика.  Зависимость аргумента ККП  от частоты, обычно в полулогарифмическом масштабе.

Характеристическое уравнение.  Уравнение, получающееся приравниванием нулю знаменателя передаточной функции.

Элементарное звено.  Звено, которое описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка.

 

ГЛАВА 3. Преобразование структурных схем. Алгебра передаточных функций.

 

Основные соединения элементарных звеньев: последовательное, параллельное и встречно-параллельное соединения. Встречно-параллельным называется соединения с обратной связью.

В  ТАУ для схематического изображения изучаемого объекта используются следующие схемы.

         1) Структурная (алгоритмическая) схема.                                                                              

Структурной (алгоритмической) схемой называется изображение системы автоматического регулирования в виде совокупности динамических звеньев с указанием связи между ними и их передаточных  функций.

           2) Функциональная схема.      

На функциональной схеме вместо передаточных функций указываются конкретные элементы, входящие в систему автоматического регулирования. В данном случае это усилитель, двигатель, измерительный преобразователь.

Прежде чем перейти к рассмотрению перечисленных соединений, сделаем следующие допущения:

1) Передаточные функции звеньев независимы друг от друга.

Пример 1:

 

где

                       (1)

R1=10Ом  <<  R2=1кОм

 

При таком включении, звенья W₁ и W₂ практически не оказывают влияния друг на друга. Поэтому W1=W2=0.5 и справедливо выражение (1), т.е. звенья независимы друг от друга.

Если звенья поменять местами, то звено W₁ будет шунтировать пропорциональное высокоомное звено W₂. Т.е. происходит влияние одного звена на другое, поэтому выражение (1) для такого случая неверно.

2) Сигнал проходит только в одном направлении, т.е. идет от входа к выходу. 

 

3.1  Последовательное соединение  звеньев.

 

Такое соединение показано на рисунке.

Из схемы видно что:

Пусть передаточные функции  имеют вид:

       

тогда общая передаточная функция запишется в виде.

 

Передаточная функция n последовательных соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев.

Следует подчеркнуть, что это справедливо  только в том случае, если соединение выхода предыдущего звена с входом последующего не меняют исходных уравнений каждого звена и, следовательно, его передаточной функции.       

Заметим, что при последовательном соединении новые нули и полюса в структуре не появляются.

Рассмотрим два последовательно соединенных звена W₁ и W₂ с соответствующими ЛАЧХ и ЛФЧХ. Построим ЛАЧХ каждого звена в отдельности.  

При последовательном соединении ЛАЧХ и ЛФЧХ складываются. В результате получим:

Вывод:  появление новых полюсов и нулей при последовательном соединении звеньев невозможно.  

 

3.2  Параллельное соединение звеньев.

 

Параллельным соединением звеньев называется соединение, при котором входной сигнал общий, а выходные складываются. При таком соединении общая передаточная функция равна сумме передаточных функций звеньев схемы.

 

x=uW1+uW2+uW3

W=W1+W2+W3

                    

 

При параллельном соединении новые полюса не образуются, а появление новых нулей возможно.

Пример:  

где

, .

   

Построим годограф и график функции :

Рассмотренные структуры являются разомкнутыми, т.е. система не чувствует состояние выхода,  нет информации о координатах системы. Здесь остаются, справедливы замечания сделанные в предыдущем пункте относительно взаимного влияния звеньев друг  на друга.

 

 

3.3  Встречно-параллельное  соединение звеньев. Структура с обратной связью.

 

Т акое соединение звеньев изображено на рисунке.

W₁ - звено прямой передачи, W₂ - звено обратной связи.

Для определения результирующей передаточной функции такой комбинации звеньев запишем следующие соотношения.

Знак плюс в знаменателе указывает на наличие вычитателя на входе системы.

Проанализируем подобное соединение звеньев.

                          

 

Т.е. нули W(p) совпадают с нулями W₁ и с полюсами W₂. Встречно-параллельное соединение устойчивых звеньев может образовать неустойчивую систему и наоборот.

Пример:

 - глубокая обратная связь.

При глубокой обратной связи характер структуры определяется звеном обратной связи (ОС):

1.       Если , т.е. это пропорциональное звено, то ОС называется жесткой.

2.       Если , т.е. это дифференцирующее звено- ОС  называется гибкой.

3.       Если ,    т.е. это интегро-пропорциональная (изодромная) ОС (пи-регулятор).

 

 

3.4  Основные правила преобразования структурных схем.

 

Системы автоматического регулирования и их структурные схемы могут быть различной сложности. С целью упрощения структурных схем и приведения их к виду более удобному для исследования, структурные схемы подвергают преобразованию.

Две структуры считаются динамически эквивалентными, если их передаточные функции совпадают. Приведем  основные правила преобразования  структурных схем.

             1. Перенос точки съема сигнала по направлению его передачи.

При переносе узла через звено с передаточной функцией  W по направлению распространения сигнала необходимо в линию ответвления включить элемент с передаточной функцией .

              2. Перенос точки съема против направления передачи сигнала.

Для переноса узла через звено с передаточной функцией W против направления распространения сигнала нужно в линию ответвления включить звено с той же передаточной функцией.

        3. Перенос точки суммирования сигнала по направлению передачи сигнала.

При переносе сумматора через звено с передаточной функцией W1 по направлению распространения сигнала нужно в линию связи по второму входу суммирующего устройства включить элемент с передаточной функцией  того же звена.

4. Перенос точки суммирования против направления сигнала.

При переносе сумматора через звено с передаточной функцией W1 против направления передачи сигнала нужно в линию связи по второму входу суммирующего устройства включить элемент с передаточной функцией .

            5. Переход к структуре с единичной ОС.

6. Правило взаимной замены звеньев прямой передачи сигнала и звена ОС

Если меняются звенья местами, то  передаточные функции меняются на обратные, т.е.:

 

 

       

Пример 1.

Все сформулированные правила позволяют легко преобразовывать сложные структурные схемы многоконтурных систем автоматического регулирования, а также систем с несколькими входами и выходами. Преобразование структурной схемы дает возможность  определить передаточную функцию системы любой сложности.

Пример 1. Найти общую передаточную функцию следующей системы.

1)

На рисунках 2) и 3) показано последовательное преобразование схемы изображенной на рисунке 1).

2)

3)                                                

  

 

                           

 

3.5  Влияние возмущений на структуру с ОС.

       

        помеха, действующая на вход структуры, лишающая систему части информации о цели управления,

        помеха, действующая в цепи ОС, лишающая систему части информации о действительном состоянии системы.

          помеха, действующая в тракте прямой передачи сигнала, может подавляться.                     

Пусть , тогда  

Следовательно, помехи  не подавляются, а  подавляется в  раз, причем тем эффективней, чем больше , т.е. чем ближе  расположена к выходу системы.                                                           

 

Ключевые термины и понятия.

 

Замкнутая система.  Система с обратной связью, в которой производится измерение выходного сигнала, сравнение его с желаемым значением и образование сигнала ошибки, воздействующего на исполнительное устройство.

Основные соединения элементарных звеньев.  Последовательное, параллельное, встречно-параллельное (соединение с обратной связью).

Разомкнутая система.  Система без обратной связи.

Сигнал ошибки.  Разность между желаемым выходным сигналом, обычно совпадающим с задающим воздействием, и действительным выходным сигналом.

Установившаяся (статическая) ошибка.  Ошибка, остающаяся после полного затухания переходного процесса.