Глава 10. Статистические задачи линейных систем автоматического управления

 

Методы расчета систем, подверженных случайным воздействиям, составляют в теории управления отдельную ветвь, называемую Статистической динамикой (СД).

Теоретические основы СД созданы Н. Винером, А.Н. Колмогоровым, А.Я. Хинчиным, а также В.С. Пугачевым и В.В. Солодовниковым.

Различают в СД три типа задач расчета автоматических систем:

1. Определение Статистических характеристик выходных сигналов (управляемой величины или сигнала ошибки) при полностью заданной структуре системы, заданных параметрах объекта и управляющего устройства и известных характеристиках внешних воздействий.

2. При полностью заданных структуре системы, заданных параметрах объекта управления и известных Статистических характеристиках воздействий необходимо так выбрать параметры системы, чтобы получить минимум среднеквадратичной ошибки (минимум дисперсии ошибки).

3. При заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала и помехи необходимо определить оптимальную структуру и параметры системы (или только управляющего устройства), при которых обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки. Это так называемая “задача  Винера” (решаются уравнения Винера-Хопфа и Винера-Колмогорова).

Задача Винера Н. формулируется как задача синтеза структуры линейной системы по критерию минимума дисперсии при стационарных случайных воздействиях.

 

10.1 Задача первого типа

 

 

 

u – “белый шум”

 

 

Найти среднеквадратичное значение помехи на выходе звена:

 

 

 

Т .о. среднеквадратичное значение помехи (“шума”) на выходе звена пропорционально полосе пропускания. Следовательно возникает противоречие между быстродействием и шумами.

Длительность переходного процесса тем меньше (быстродействие выше), чем шире полоса пропускания, но чем шире полоса пропускания, тем выше уровень шумов.

 

 

  – ширина полосы пропускания

 

Примером такого источника “белого” шума могут быть тепловые шумы сопротивления, которые дают уровень спектральной плотности хаотичного напряжения на этом сопротивлении ,  где

– сопротивление,

– постоянная Больцмана,

– абсолютная температура.

 

10.2 Задача второго типа

 

Дана структурная (алгоритмическая) схема замкнутой системы:

   

  ,   – передаточный коэффициент,  (иногда  – добротность по скорости)

Надо определить оптимальное значение  при котором суммарная дисперсия (разброс) сигнала рассогласования

 

  минимальна;

 – математическое ожидание (среднее значение) сигнала   

Дисперсия является мерой разброса мгновенных значений сигнала около математического ожидания. Чем больше пульсация переменной составляющей сигнала около его постоянной составляющей, тем больше дисперсия сигнала. Дисперсия имеет размерность величины  в квадрате.

 

 

 

Ч асто в качестве меры разброса случайного сигнала используют среднеквадратичное отклонение:

На входе системы действует задающее воздействие , которое характеризуется экспоненциальной корреляционной функцией:

и спектральной плотностью:

 

 

 

Ч ем больше , тем “острее” график корреляционной функции и шире график спектральной плотности.

На входе системы также действует помеха  в виде “белого шума” со спектральной плотностью

 

 

 при ,  ,  

причем

 

Передаточная функция, связывающая  и :

 

 

 

 

 

 

Комплексный коэффициент передачи (ККП) или “частотная функция”:

 

Передаточная функция и ККП, связывающие  и :

 

 

 

 

Если внешние воздействия  и  не коррелированны между собой, то сигнал ошибки , возникающий в системе, может рассматриваться как сумма двух независимых составляющих

Составляющая  обусловлена неточным воспроизведением задающего воздействия, а составляющая  – неполным подавлением возмущения

Для определения дисперсии сигналов на выходе  системы практически удобно пользоваться соотношениями в частной области.

Дисперсия, обусловленная неточным воспроизведением задающего воздействия :

                                    ( 1 )

                          ( 2 )

 

Из ( 2 ) видно, что при подстановке в общее соотношение ( 1 ) конкретных функций  и  получаются довольно сложные выражения, интегрирование которых обычными методами затруднительно. Поэтому используют методику аналогичную методике для вычисления квадратичных интегральных оценок (формулы Парсеваля). В соответствии с этой методикой дисперсию определяют по формуле:

 

 

Для простейших случаев:

 

 

 

 

При этом для получения коэффициентов полинома  следует вначале найти квадрат модуля полинома , а затем все слагаемые с четными степенями  привести к виду с нечетными степенями , поменяв при необходимости знаки слагаемых, т.е. записать .

Итак, преобразуем ( 2 ):

 

; 

 

Следовательно,

 

Чем больше K, тем меньше дисперсия , т.е. тем точнее система воспроизводит на выходе задающее воздействие.

Дисперсия, обусловленная влиянием помехи :

 

Значение  при  примет вид:

Чем больше коэффициент K, тем больше ошибка из-за прохождения помехи  на выход системы.

Суммарная дисперсия сигнала ошибки:

 

Значение K, обеспечивающее минимальную дисперсию (разброс) найдем из условия:

Графики зависимости дисперсий сигнала ошибки в зависимости от передаточного коэффициента  разомкнутой системы даны на рисунке:

 

 

 

 

 

Например, если , то

 

Видно, что  зависит только от параметров внешних воздействий. В частности, чем больше параметр , тем быстрее уменьшается корреляционная функция, тем ближе сигнал к чисто случайному и тем шире график спектральной плотности.

При  рассматриваемый сигнал приближается к идеальному “белому шуму”.