2.3 Временные характеристики звеньев и систем.

 

Линейные системы обладают следующим «замечательным» свойством,  если известна реакция системы (выходной сигнал) на  некоторое входное воздействие, то можно рассчитать с помощью интеграла Дюамеля реакцию система на любой другой сигнал. Линейные системы полностью характеризуются реакциями на следующие стандартные входные сигналы:

1.       единичная функция, реакция на этот сигнал носит название переходная функция.

2.       d-функция, реакция на этот входной сигнал носит название импульсная (или весовая) функция.

1. Переходная функция. Единичная функция – это функция следующего вида, (рис. 7):

.

  Рассмотрим некоторое звено с передаточной функцией , сигналом на входе  и сигналом на выходе  (рис.8):

Перейдем в пространство Лапласа:

 

;

При  определении переходной функции для проверки результатов полезно пользоваться предельными теоремами:

.

Пример 1. Рассмотрим некоторое звено, которое описывается следующей передаточной функцией:

.

Необходимо найти переходную функцию:

.

 

Найдем оригинал переходной функции, использую стандартную таблицу соответствий:

.

Проверка:

.

 

2. Импульсная (весовая) функция.  d-функция, или функция Дирака, - это функция следующего вида, (рис. 9):

.

,

последнее уравнение в пространстве Лапласа:

.

Рассмотрим некоторое звено с передаточной функцией , сигналом на входе  и сигналом на выходе  (рис.10):

,

т.е. импульсная (весовая) функция является оригиналом передаточной функции.

Пример 2. Условия  такие же, как в примере 1. Необходимо найти  весовую функцию:

Пример 3 (применение интеграла Дюамеля):

Перейдем во временное пространство:

.

Знак  обозначает свертку функций.

.

Пусть

.

Необходимо найти . Для этого сначала найдем весовую функцию:

,

 

.

 

 

2.4 Пропорциональное (безынерционное) звено.

 

1. Передаточная функция. Частотные и временные характеристики звена.  Уравнение динамики идеального звена имеет вид:

- коэффициент усиления (или передачи), который является постоянным для линейного звена и переменным для нелинейного звена.

Перейдем к операторной форме записи уравнения:  

.

Передаточная функция  пропорционального звена

.

Частотные характеристики получаются путем замены в выражении передаточной функции комплексной переменной  на  :

.

Пусть , тогда , для данного случая  построим  годограф (рис. 13).

Найдем ЛАЧХ:

.

Перейдем к показательной форме представления комплексного числа:

,

тогда ФЧХ: 

.

Графики ЛАЧХ и ФЧХ представлены на рис.14.

Получим переходную характеристику (рис. 15):

.

Весовая функция (рис. 16):

.

 

 

2. Примеры  пропорционального звена. Его реализация на операционном усилителе.

-      Усилитель (рис. 17): для того чтобы на практике иметь идеальное пропорциональной (инерционное) звено, необходимо чтобы частота  входного сигнала была  .

-        Потенциометр (рис. 18): коэффициент передачи определяется следующим образом:

.

Жесткий механический рычаг: коэффициент передачи определяется как отношение плеч рычага.

 

-        Механический редуктор и т.д.

Схема реализации пропорционального звена на операционных усилителях имеет следующий вид (рис. 19). Передаточная функция определяется следующим образом:

.

Статический коэффициент передачи:

.