4.2.3 Теоремы Ляпунова.

 

Практически, при учете малых параметров системы порядок системы и полюса системы могут измениться, сделанное заключение об устойчивости может оказаться неверным.

Существует три важные теоремы Ляпунова:

1)             Если все полюса исходной системы левые, то учет малых параметров не может изменить устойчивость системы.

2)             Если в исходной системе имеются правые полюса, т.е. система неустойчива, то учет малых параметров не может сделать систему устойчивой.

3)             Если в исходной системе имеются нейтральные полюса, то влияние малых членов неопределенно.

 

4.3 Частотные критерии устойчивости.

 

Когда порядок характеристического уравнения высок, алгебраические критерии устойчивости, как правило, не дают возможность установить влияние отдельных параметров на устойчивость и получить рекомендации по выбору этих параметров. В связи с этим в 30-х годах были разработаны более приспособленные для инженерных исследований и расчетов графо-аналитические методы, использующие частотные характеристики.

В основе всех частотных критериев лежит известный из теории функций комплексного переменного принцип аргумента.

 

4.3.1 Принцип аргумента.

 

Рассмотрим линейную замкнутую систему, описываемую следующим дифференциальным уравнением:

                                     (1)

 

Характеристическое уравнение этой замкнутой системы будет следующее:

                            (2)

 

Полином   называется характеристическим полиномом.

Решив характеристическое уравнение, мы получим n полюсов замкнутой системы .

Тогда характеристический полином можно записать:

            (3)

Изобразим эту ситуацию на комплексной плоскости (рис. 1):

 

 

рис.1

 

Произведем в характеристическом полиноме  замену :

        (4)      

 

Учитывая, что в данном случае переменная чисто мнимая, ситуацию  можно изобразить так (рис.2):

рис.2

Нанесем на комплексную плоскость точки , , соответствующие полюсам  соответственно, и рассмотрим, как будут вести себя векторы   при увеличении частоты от до . Изменение аргумента полинома  в этом случае будет равно:

          (5)

 

Из рисунка 3 видно, что при изменении частоты от до начало векторов остается в точках  ,  соответственно, а концы перемещаются снизу вверх по всей мнимой оси, в результате чего вектор, соответствующий левому полюсу, поворачивается на угол против часовой стрелки, а вектор, соответствующий правому полюсу, также поворачивается на угол , но по часовой стрелке.

 

 

 

рис.3

 

Пусть полином имеет  правых полюсов и левых полюсов. Тогда приращение аргумента будет равно:

      (6)

 

Очевидно, что при изменении частоты от 0 до  приращение аргумента будет вдвое меньше:

                         (7)

В самом деле, каждый из векторов , соответствующих вещественным корням, повернется теперь на угол  или , а векторы , соответствующие паре сопряженных комплексных корней, один на угол , другой – на угол , общее же приращение их аргумента будет .

 

рис.4

 

 

 

 

4.3.2 Критерий устойчивости михайлова.

Этот критерий был разработан Михайловым А.В. в 1938 году.

Ранее было выяснено, что для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (полюса системы) были левыми. Теперь рассмотрим соотношение 7. Так как для устойчивости корни должны быть левыми, то в этом выражении должно быть  

Тогда получаем:

                            (8)

Линия, которую описывает на плоскости вектор  (4) при изменении частоты от нуля до бесконечности называется годографом Михайлова.

Изобразим на комплексной плоскости несколько видов годографов при различных количествах корней (все годографы изобразим для устойчивых систем):

 

 

Так как  можно записать в виде

,

то при  получаем , т.е. все годографы начинаются из одной точки.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни были левыми, то есть чтобы среди них не было не только правых корней, но и лежащих на мнимой оси и обращающих в нуль функцию .

Таким образом, к необходимым и достаточным условиям устойчивости можно отнести:

1)    

2)   

В устойчивой системе годограф Михайлова представляет собой плавную спиралевидную кривую, последовательно пересекающую квадранты комплексной плоскости и уходящую в бесконечность в квадранте, номер которого совпадает с порядком системы.

Отсюда получаем, что даже годограф, изображенный на следующем рисунке соответствует неустойчивой системе, так как, несмотря на то, что в бесконечность годограф уходит в 4-м квадранте и порядок системы тоже 4, но нарушена последовательность пересечения квадрантов.

 

Следующая же система является устойчивой:

Отметим, что в ней   и  .

Разделим  на действительную и мнимую части: . Тогда можно отметить соответствия:

 

То есть получаем:

 

Получаем, что если выполняется условие перемежаемости корней, то система устойчива.

В завершение следует отметить, что критерий Михайлова может применяться и при порядках системы больших 4 – 5.

Пример. Для примера возьмем уже рассмотренную ранее систему слежения отработки угла.

Она имеет характеристическое уравнение:

.

Произведем замену :

.

Произведем разделение на мнимую и действительную части:

    

 

Из этой системы получаем:

 (см. 9)

            (см.10)

               (см.10)

Из условия перемежаемости корней находим значение , при котором система устойчива:

Отсюда