2.2 Частотные характеристики.

 

1. Получение частотных характеристик, их виды. Пусть система имеет следующую передаточную функцию:

,

где   - лапласовское изображение выходного сигнала,  - лапласовское изображение входного сигнала. Частотные характеристики получаются путем замены в выражении передаточной функции комплексной переменной  на  . Указанная замена равносильна переходу к преобразованию Фурье для дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях. Таким образом,  получим следующее выражение:

.

Перейдем к показательной форме представления комплексного числа:

,

где  и  - амплитудные значения выходного и входного сигналов.

Функция  называется комплексным коэффициентом передачи (ККП) или амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). Она зависит от параметров элементов, составляющих автоматическую систему, и от частоты.  Комплексный коэффициент передачи может быть представлен еще  и в алгебраической форме, которая имеет следующий вид:

,

где - вещественная частотная характеристика, - мнимая частотная характеристика.

Кроме АФХ существуют и другие частотные характеристики. Функция называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), он определяет зависимость амплитуды от частоты. Функция  определяется следующим образом:

,

или, используя алгебраическую форму представления АФХ,

.

Функция называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ), она определяет зависимость фазы от частоты.. Функция  определяется следующим образом:

.

ФЧХ и АЧХ чаще всего строят в логарифмическом масштабе. Это позволяет сжимать область изображения, операции умножения и деления заменяются операциями  сложения и вычитания. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) определяется следующим образом:

.

2. Амплитудно-фазовая характеристика. График амплитудно-фазовой характеристики называется годографом (рис. 4). Годограф – это линия, которую описывает на комплексной плоскости конец вектора комплексного коэффициента передачи при изменении частоты от нуля  до бесконечности ( ). Теоретически частотные характеристики могут быть построены и для отрицательных частот, но это имеет чисто математический, а не физический смысл.  Годограф применяется для исследования устойчивости систем.

3. Построение  асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) определяет изменение логарифма модуля частотной функции при изменении частоты. На графике логарифм модуля откладывают по оси ординат, а логарифм частоты – по оси абсцисс.

данное выражение определяет логарифм отношения амплитуды на выходе к амплитуде на входе и характеризует степень усиления системой входного сигнала, поэтому эту величину измеряют в единицах, принятых для усилительных устройств. Но логарифмическая единица бел считается очень крупной, поэтому величина   выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Децибел равен одной десятой части бела. Один децибел соответствует изменению амплитуды в  раз.

Разы	1		10	100	103		0,1
Децибелы, db	0	3	20	40	60	-3	-20

При построении логарифмических характеристик используют также следующие единицы: октава и декада.

Октавой называют отрезок оси , заключенный между произвольным и удвоенным значением . Длина этого отрезка:

.

Декадой называется отрезок оси абсцисс, заключенный между произвольным значением  и его десятикратным значением . Длина этого отрезка:

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ часто используют асимптотическое, т.е. приближенное,  построение. Наиболее часто применяемый   способ  это построение по Боде. Асимптотическая аппроксимация по Боде заключается в отбрасывании в сумме меньших из слагаемых. 

Пример 1 (построение ЛАЧХ и ЛФЧХ по Боде): система описывается следующей передаточной функцией:

,

где .

Перейдем к комплексному коэффициенту передачи:

,                         (*)

,

.

Найдем частоты сопряжения, т.е. те частоты где асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ терпят излом:

.

Запишем выражение (*) через сопряженные частоты:

.

1) , т.е. . Тогда ККП примет вид:

.

2) . Тогда ККП примет вид:

,

,

приращение ЛАЧХ составляет .

.

3) . Тогда ККП примет вид:

,

,

приращение ЛАЧХ составляет ,

.

Асимптотические и точные характеристики довольно хорошо совпадают для ЛАЧХ и хуже для ЛФЧХ. Наибольшее расхождение для фазовых характеристик имеется в области сопряженных частот. Построенные характеристики изображены на рис. 5, где сплошной линией построены асимптотические характеристики, а точные – пунктиром с точкой.   

Пример 2. Система описывается передаточной функцией:

,

где .

Перейдем к комплексному коэффициенту передачи:

,                 (*)

,

Запишем выражение (*) через сопряженные частоты:

.

1) , т.е. . Тогда ККП примет вид:

, где 

,

приращение ЛАЧХ составляет .

.

2) , т.е. :

, .

3) , т.е. :

, .

3) , т.е. :

, .

ЛАЧХ и ЛФЧХ для данной системы представлены на рис. 6.