Вопрос 28

Теорема 1. Числовая последовательность может иметь только один предел.

Доказательство. Предположим противное. Это означает, что существует последовательность  , имеющая два различных предела а и в. По лемме   и  , где   и   – бесконечно малые последовательности, откуда получаем  . Так как все элементы бесконечно малой последовательности   имеют одно и по же значение в-а, то в-а=0, то есть в=а, что противоречит предположению. Теорема доказана.

Теорема 2. Сходящаяся числовая последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть   – сходящаяся к числу а, тогда  , где  . Так как бесконечно малая последовательность ограничена, то $ такое число  , что для всех   выполняется  . Поэтому   для всех  , а это и означает, что последовательность   ограничена.

Теорема 3. Если последовательность   сходится к числу  , то, начиная с некоторого номера, определена последовательность  , которая является ограниченной.

Доказательство. Пусть  , так как  . Пусть N – номер, начиная с которого выполняется условие  . Отсюда при   получаем   или  . Тогда при    , что означает ограниченность последовательности  , начиная с номера N.

Вопрос 29

Пусть  и  ; ,Тогда  Док-во:  предложим противное: > < ;по определению пределов:

(*) <

(**) <

будут выполнены (*) и (**)

< < < < ;т.е

< ,что противоречит условию значит < не верно,а  -верно(утверждение теоремы);

если в условии теоремы записать,что  < ; то

<  

>

=

Вопрос 30

Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности  . Докажем, что точная верхняя граница для последовательности   и будет ее пределом.

Действительно, по определению точной верхней границы

Кроме того, какое бы ни взять число  , найдется такой номер  , что

Так как последовательность монотонна, то при   будет  , а значит, и   и выполняются неравенства

откуда и следует, что  .

Вопрос 31

Первая формулировка

Пусть предложена последовательность точек пространства  :

и пусть эта последовательность ограничена, то есть

где C > 0 — некоторое число.

Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность

которая сходится к некоторой точке пространства  .

Теорему Больцано — Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности.

Расширенный вариант первой формулировки

Нередко теорему Больцано — Вейерштрасса дополняют следующим предложением.

Если последовательность точек пространства   неограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность, имеющую предел  .

Для случая n = 1 эту формулировку можно уточнить: из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую пределом бесконечность определенного знака (  или  ).

Таким образом, всякая числовая последовательность содержит подпоследовательность, имеющую предел в расширенном множестве действительных чисел  .

Вторая формулировка

Следующее предложение является альтернативной формулировкой теоремы Больцано — Вейерштрасса.

Всякое ограниченное бесконечное подмножество E пространства   имеет по крайней мере одну предельную точку в  .

Более подробно, это означает, что существует точка  , всякая окрестность U_ε(x₀) которой содержит бесконечное число точек множества E.

Доказательство

Одномерный случай

Докажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Нижеизложенный способ доказательства называется методом Больцано, или методом деления пополам.

Пусть дана ограниченная числовая последовательность

Из ограниченности последовательности следует, что все ее члены лежат на некотором отрезке числовой прямой, который обозначим [a₀,b₀].

Разделим отрезок [a₀,b₀] пополам на два равных отрезка. По крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его [a₁,b₁].

На следующем шаге повторим процедуру с отрезком [a₁,b₁]: разделим его на два равных отрезка и выберем из них тот, на котором лежит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его [a₂,b₂].

Продолжая процесс получим последовательность вложенных отрезков

в которой каждый последующий является половиной предыдущего, и содержит бесконечное число членов последовательности {x_k}.

Длины отрезков стремятся к нулю:

В силу принципа вложенных отрезков Коши — Кантора, существует единственная точка ξ, принадлежащая всем отрезкам:

По построению на каждом отрезке [a_m,b_m] лежит бесконечное число членов последовательности. Выберем последовательность

соблюдая при этом условие возрастания номеров:

Тогда подпоследовательность   сходится к точке ξ. Это следует из того, что расстояние от   до ξ не превосходит длины содержащего их отрезка [a_m,b_m], откуда