Вопрос 26

Пусть даны два множества X и Y. Такое соответствие, при котором каждому элементу   соответствует (единственный) элемент  , называется отображением множества X в множество Y; в частности, если каждый элемент   соответствует по крайней мере одному элементу  , то такое соответствие называется отображением X на Y.

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной xоднозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Композиция отображений

Пусть   и   — два заданных отображения таких, что область значений первого отображения является подмножеством области определения второго отображения. Тогда для всякого   однозначно определяется элемент   такой, что y = f(x), но для этого самого y однозначно определяется элемент   такой, что z = g(y). То есть, для всякого   однозначно определяется элемент   такой, что z = g(f(x)). Другими словами, определено отображение h такое, что

h(x) = g(f(x)) для всякого  .

Это отображение называется композицией отображений f и g и обозначается

• либо   или  ,

• либо   (именно в таком порядке!), что является наиболее употребительным.

Вопрос 27

Последовательность — это упорядоченный список элементов некоторого множества.

Понятие последовательности

Последовательностью элементов множества E называется отображение

т. е. функция, которая каждому натуральному числу   ставит в соответствие элемент  .

Для записи последовательности употребляем обозначения (x_n), или x₁, x₂, ..., x_n, ..., или x_n = f(n),  .

Элементы x₁, x₂, ..., x_n, ... называются членами последовательности, а x_n - общим членом последовательности.

Множество E может быть различным, например: R, R^m, C[a, b],   и т.д. Если E = R, то последовательность называется числовой, если E =R^m, - векторной, если E = C[a, b], - функциональной, если E =   - матричной и т. д. В каждом из этих случаев множество всевозможных последовательностей образует векторное нормированное, а следовательно, и метрическое пространство.

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число    то говорят, что задана числовая последовательность   Кратко она обозначается символом      называют n-м членом последовательности. Совокупность этих чисел называют множеством значений последовательности.

Существует несколько способов задания числовых последовательностей.

1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, позволяющей вычислить каждый ее член по номеру (например,   ).

2. Часто последовательность задается при помощи рекуррентной формулы, позволяющей определить каждый член последовательности по одному или нескольким предыдущим; при этом необходимо задание одного или нескольких первых членов последовательности. К таковым относятся арифметическая и геометрическаяпрогрессии или, например, последовательность Фибоначчи, задаваемая формулой 

xn + 2 = xn + 1 + xn при n > 0

и условиями x₁ = 1, x₂ = 1.

3. Иногда последовательность задается описанием ее членов, например, последовательность, у которой x_n равен n-му знаку после запятой в десятичной записи числаπ = 3,14159265358979323..., задается следующим образом: x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 1, x₄ = 5, x₅ = 9, x₆ = 2, x₇ = 6, x₈ = 5, x₉ = 3, x₁₀ = 5 и т. д.

Число a называется пределом последовательности {x_n}, если для каждого ε > 0 существует такой номер N_ε, что для всех n ≥ N_ε выполняется неравенство 

|xn – a| < ε,

т. е.   При этом пишут, что   или   при n → ∞. Кратко это определение можно записать так: 

Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a.

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Если никакое число не является пределом последовательности, то она называется расходящейся.

Можно показать, что числовая последовательность имеет только один предел.

Последовательность   называется возрастающей, если для любого   выполняется неравенство 

xn + 1 > xn.

Последовательность   называется убывающей, если для любого   выполняется неравенство 

xn + 1 < xn.

Если в этих определениях неравенство будет нестрогим, то последовательности будут называться соответственно неубывающей и невозрастающей.

Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными. Неубывающие и невозрастающие последовательности называют монотонными.