Вопрос 36

Функция называется явной ,если она задана формулой , в которой правая правая часть не содержит зависимой переменной

Функция f называется элементарной ,если её значение может быть получено с помощью конечного числа арифметических операций и 4рех функций :

1)e в степени x

2)lnx

3)sinx

4)arcsinx

Классификация :

1)Алгебраический

- рациональные

-- целые рациональные

-- дробные рациональные

2)Трансцендентные

Всякую не алгебраическую функцию называют трансцендентной

Вопрос 37

Предел функции по Гейне ( на языке последовательности )

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любой последовательности точек  , сходящейся к  , но не содержащей   в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности   ), последовательность значений функции   сходится к  .^[1]

Предел функции по Коши (на языке эпсилент дельта)

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число   такое, что для всех аргументов  , удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство  .^[1]

Вопрос 38

Бесконечно-малые величины.

Определение Функция a(x) называется бесконечно малой величиной при x->x0 или при x->бесконечность , если её придел равен нулю.

Развернутое Определение бесконечно-малой величины.

Функция a(x) называется бесконечно малой величиной при x->x0 , если для любого , даже сколь угодно малого положительного числа эпсилент , найдется такое положительное число дельта , что для всех х , не равных х0 и удовлетворяющих условию |x-x0|<дельта , будет верно неравенство |a(x)| < эпсилент.

Свойства :

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию ( в том числе на постоянную , на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию , предел которой отличен от нуля , есть величина бесконечно малая.

Связь бесконечно малых величин с пределами функций. Теорема

Если функция f(x) имеет при x->x0 (x->бесконечность) предел, равный А , то её можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой а(x) при x->x0 (x->бесконечность)

Теорема

Если функция f(x) , можно представить ,как сумму числа А и бесконечно малой a(x) при x->x0 (x->бесконечность) , то число А есть предел этой функции при x->x0 (x->бесконечность)

Вопрос 39

 Пусть   и   — бесконечно малые при  . 1. Если  , то говорят, что   является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с  . В этом случае пишут  . 2. Если  , где  —число, отличное от нуля, то говорят, что   и  — бесконечно малые одного и того же порядка. В часности, если  , то бесконечно малые   и   называются эквивалентными. Запись  ~  означает, что   и  —эквивалентные бесконечно малые.          Если  , то это означает, что  . Таким образом,   является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с  , т. е.  3. Если   и  —бесконечно малые одного и того же порядка, причем  , то говорят, что бесконечно малая   имеет порядок   по сравнению с  .

 Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых величин:  если  , то

~           ~            ~           ~ ~            ~             ~