Вопрос 62

1.Найти производную у/=f/(x)

2.Найти критические точки функции, в которых производная f/(x)=0 или не существует.

3. Найти вторую производную f // (x) и определить знак ее в каждой критической точке.

4. Найти экстремумы функции

Вопрос 63

О: Точкой перегиба графика функции называется точка, в которой меняется направление выпуклости графика (рис. 10.11).

Рис. 10.11

Очевидно, что касательная в точке перегиба, если она существует, пересекает график. Т: (необходимый признак т.п.) Пусть функция  дважды непрерывно дифференцируема в окрестности т.  и в т. имеет точку перегиба. Тогда

Предположим противное, т.е. что   для определенности В силу непрерывности знак сохраняется всюду в окрестности т. т.е. по достаточному признаку выпуклости, вогнутости график вогнутый в окрестности т. Полученное противоречие с условием теоремы доказывает, что

Условие = 0 не является достаточным. Например, для функции вторая производная при х = 0, но в данной точке функция имеет min, а не перегиб (рис. 10.12). Если

то т.(  может являться т.п. Например, для   вторая производная

при х= 0, до т.(0, 0) при х > 0 график по достаточному признаку выпуклости, вогнутости является выпуклым, после т. (0, 0) при х < 0 — вогнутым, т.е. т. (0, 0) — точка перегиба (рис. 10.13).

Рис. 10.12

Рис. 10.13

Точку в которой назовем подозрительной на перегиб.

Т: (достаточный признак т.п.) Пусть   и — подозри-

тельная на перегиб. Если при переходе через т. производная меняет знак на противоположный, то — точка перегиба

Пусть для определенности > 0 при х < < 0

при х > Тогда по достаточному признаку выпуклости, вогнутости график вогнутый до т. а после нее — выпуклый, т.е. при х = перегиб

Исследование функции на выпуклость, вогнутость точки перегиба производится по следующей схеме:

1) находим

2)  находим точки, подозрительные на перегиб, и разбиваем   этими точками на интервалы выпуклости, вогнутости;

3) проверяем знак в полученных интервалах. Результаты исследования удобно занести в таблицу.

Пример: — кривая Гаусса.

1)

2) при  — точки, подозрительные на перегиб.

Получаем интервалы выпуклости, вогнутости:

3)  заполняем таблицу.

По результатам исследования можно построить график (рис. 10.14).

Рис. 10.14

Вопрос 64 Асимптоты графика функции.

   В других разделах было показано, что исследование функции f(x) на минимум и максимум, на точки перегиба облегчают построение графика этой функции. Но кривая y = f(x) может иметь асимптоты, т.е. прямые, к которым неограниченно приближается кривая по мере удаления ее переменной точки в бесконечность.    Поэтому прежде чем построить кривую, нужно провести еще исследование ее уравнения на асимптоты.    Дадим более полное определение асимптоты.

Рисунок 1.

   Определение. Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).
   Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
   Пусть кривая y = f(x) имеет одну или несколько вертикальных асимптот (рис.1).
   Для нахождения вертикальных асимптот кривой y = f(x) нужно отыскать такие значения x = a, при которых yобращается в бесконечность, т.е. при которых  .
   Уравнение вертикальной асимптоты будет

x = a     (1)

   В самом деле, из рис.1 непосредственно видно, что расстояние точки M(x; y) от прямой x = a равно d = | x - a |. Когдаx  a, то точка M(x; y) движется по кривой y = f(x), удаляясь в бесконечность, причем ее расстояние d = | x - a | от прямой x = a стремится к нулю и, согласно определению асимптоты, прямая x = a является асимптотой кривой y = f(x)

Пример 1.    

Рисунок 2.

   Теперь предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту. Из произвольно выбранной на кривой точке M(x; y) опустим перпендикуляр MNна асимптоту AB и перпендикуляр MP на ось Ox (рис.2). Тогда имеемLM = PM - PL, т.е. LM = f(x) - y, где f(x) и y - ординаты точек M и L соответственно кривой и асимптоты, имеющих одинаковую абсциссу x.
   Согласно определению асимптоты, при неограниченном увеличении абсциссы x (т.е. при удалении точки M по кривой в бесконечность) расстояние MN кривой от асимптоты неограниченно уменьшается, т.е  . Вместе с перпендикуляром MN будет неограниченно уменьшаться и LM = f(x) - y :

     (2)

   В самом деле, из LMN имеем

где a - угол наклона асимптоты. Так как cos  = const, то

   Пусть y = kx + b - уравнение асимптоты: тогда

откуда

f(x) = kx + b +      (3)

где b - бесконечно малая при x  +.    Таким образом, если уравнение кривой можно представить в виде (3), где k и b - некоторые постоянные, а 0 при x  +, то кривая имеет асимптоту y = kx + b. Аналогичное условие можно написать для асимптоты, когда x  - 

Пример 2.    

   Однако не всегда легко представить уравнение кривой в виде (3). Поэтому для нахождения наклонной асимптоты сначала определяют угловой коэффициент k, а потом отрезок b, отсекаемый асимптотой на оси Oy. Выведем формулы для вычисления k и b.     Запишем условие (3) в виде

   При x  + слагаемое   стремится к нулю, а потому

     (4)

   Теперь из уравнения

f(x) = kx + b + 

находим b:

b = f(x) - kx - 

или, так как  ,

     (5)

   Если пределы (4) и (5) существуют, то кривая имеет при x+ асимптоту

y = kx + b,

где k и b находятся по формулам (4) и (5). Для x- формулы такие же, но пределы находятся при x-.    При k = 0 получаем уравнение

y = b

горизонтальной асимптоты, причем