Вопрос 44 Определение производной функции. Необходимое условие существования производной

Пусть функция     определена в точке     и некоторой ее окрестности. Придадим аргументу приращение   такое, что точка   попадает в область определения функции.  Функция при этом получит приращение   . 

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Производной функции     в точке   называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента  ,  при  (если этот предел существует и конечен), т.е.

.

Обозначают: .

Производной функции   в точке  справа (слева) называется

(если этот предел существует и конечен).

Обозначают:    – производная y=f(x)  в точке справа,

  – производная y=f(x) в точке слева.

Физический и геометрический смысл производной

1) Физический смысл производной.

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная   – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке .  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная  – скорость в момент времени .  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то   – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

2) Геометрический смысл производной.

Пусть   – некоторая кривая,  – точка на кривой  .

Любая прямая, пересекающая   не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой  в точке   называется предельное положение секущей   ,  если точка   стремится к  ,  двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке  существует, то она единственная

Рассмотрим кривую y = f(x)  (т.е. график функции  y = f(x)).  Пусть в точке  он имеет невертикальную касательную  .  Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точку и имеющую угловой коэффициент  k).

По определению углового коэффициента  , где  – угол наклона прямой   к оси  .

Пусть  – угол наклона секущей к оси ,  где   . Так как   – касательная, то при 

 ⇒   ⇒     .

Следовательно,

.

Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (геометрический смысл производной функции в точке).  Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде

 

      Замечание. Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке , называется нормалью к кривой в точке . Так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением ,  то уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке   будет иметь вид

, Если .

Если же , то касательная к кривой y = f(x) в точке будет иметь вид  , а нормаль                                      .

Вопрос 45

Функция y = f(x), определенная в окрестности точки x₀, называется дифференциируемой в точке x₀, если ее приращение Δy представимо в виде

Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = AΔx+α(Δx)Δx,

где А - число, не зависящее от Δx, а α(Δx) - бесконечно малая функция при Δx→0.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x₀,то есть ее приращение представимо в виде:

Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = AΔx+α(Δx)Δx,

где А - число, не зависящее от Δx, а α(Δx) - бесконечно малая функция при Δx→0.

Тогда выражение AΔx называется дифференциалом функции f(x) в точке х₀ и обозначается символом

dy = AΔx.