Вопрос 59

Теорема 3 (достаточное условие локального экстремума): Пусть точка x0- стационарная точка функции f. Если f дифференцируема в некоторой окрестности U(x0) точке x0, а в самой точке x0она дважды дифференцируема и f′′(x0)/=0 , то f(x0) -- есть локальный экстремум функции f, а именно f(x0)является локальным max, если f′′(x0)<0и f(x0) -- локальным min, если f′′(x0)>0. Доказательство: Пусть f′′(x0)<0, тогда функция f′ в точке x0 будет убывающей, т.е. для точек x левой полуокрестности U−(x0) точки x0будет иметь f′(x)>f′(x0)=0, для точки x∈U+(x0),f′(x)<f′(x0)=0 , т.е. при переxоде через точку x0производная f′ меняет свой знак с `+' на `-'. По теореме 2 получаем, чтоf(x0)является локальным max функции f. 2) Пусть f′′(x0)>0, тогда функция f′ в точке x0 будет возрастающей. Поскольку x0- стационарная точка функции, т.е.f′(x0)=0, то это означает, что при переxоде через точку x0 производная f′ меняет свой знак с `-' на `+', что и означает, чтоf(x0) локальный min функции f. ч.т.д. Определение Точка М(x0,f(x0)) называется точкой перегиба графика функции f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пределаx которой график функции слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости.

1.Найти произв. у/=f/(x) 2.Найти критические точки функции, в которых производная f/(x)=0 или не существует. 3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции. 4. Найти экстремумы функции

Вопрос 60 Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке. 1). Функция может не иметь экстремумов на отрезке [a, b], то есть она монотонно возрастает или убывает на нем. Тогда, наибольшее (М) или наименьшее (m) значение равно либо f(a), либо f(b). 2). Функция имеет строго один экстремум. Тогда, M=f(x0), если f(x0) – максимум, а m равно либо f(a), либо f(b). Если f(x0) – минимум, то m=f(x0), а М – либо f(a), либо f(b).

3). Функция имеет несколько экстремумов в [a, b]. Тогда М равно одному из трех чисел: наибольший из максимумов, f(a), f(b); а m равно меньшему из трех чисел: наименьший из минимумов в [a, b]; f(a), f(b). 

Для отыскания наиб. и наим. значения следует: 1. Найти производную у/=f/(x) 2. Найти критические точки функции, в которых производная f/(x)=0 или не существует. 3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наиб. fнаиб и наименьшее fнаим

Вопрос 61

Выпуклость и вогнутость графика функции.

График функции y=f(x) называют выпуклым в точке М1 с абсциссой x=x0, если в некоторой e-окрестности точки М1 график функции лежит под касательной к нему, проведенной в этой точке.

График функции y=f(x) называют вогнутым в точке М2 с абсциссой x=х0, если в e-окрестности точки М2 график функции лежит над касательной к нему, проведенной в этой точке.

Достаточный признак выпуклости или вогнутости функции y=f(x) в некоторой точке М с абсциссой x0 (при условии, что при x=x0 функция имеет непрерывную вторую производную) состоит в следующем: если f//(x0)<0, то график функции в этой точке выпуклый; если f//(x0)>0, то график вогнутый.