Вопрос 23

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

,

где   — биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.

Вопрос 24

Лемма о вложенных отрезках, или принцип вложенных отрезков Коши—Кантора^[1], или принцип непрерывности Кантора^[2] — фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел.

Формулировка

Для всякой системы вложенных отрезков

существует хотя бы одна точка c, принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю:

то c — единственная общая точка всех отрезков данной системы.

Лемма о вложенных отрезках тесно связана с непрерывностью (полнотой) поля вещественных чисел. Так, вышеприведенное доказательство леммы существенно опиралось на аксиому непрерывности. Можно показать, что если упорядоченное поле не является непрерывным, то принцип вложенных отрезков может не иметь места. Например, если взять поле рациональных чисел, которое не является непрерывным, и рассмотреть последовательность вложенных отрезков

концы которых — суть десятичные приближения иррационального числа   с недостатком и избытком соответственно с точностью  , то окажется, что у этой системы вложенных отрезков нет общей точки.

Более того, можно показать, что принцип вложенных отрезков является одной из эквивалентных формулировок непрерывности поля (и поэтому его называют принципом непрерывности по Кантору). Точнее, имеет место следующее предложение^[2]. Для всякого архимедова упорядоченного поля из принципа вложенных отрезков вытекает непрерывность этого поля.

Вопрос 25

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Мажоранта или верхняя грань (граница) множества   — число  , такое что  . Миноранта или нижняя грань (граница) множества   — число  , такое что 

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества X упорядоченного множества (или класса) M, называется наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается sup X.

Более формально:

 — множество верхних граней X, то есть элементов M, равных или больших всех элементов X

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества X упорядоченного множества (или класса) M, называется наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается inf X.

Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли sup X и inf X множеству X или нет. В случае  , говорят, что s является максимумом X. В случае  , говорят, что i являетсяминимумом X.

Теорема

Если множество А ограничено сверху , то существует точная верхняя граница , если множество ограничено снизу , то существует точная нижняя граница.