Вопрос 32
e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число.
Число e может быть определено несколькими способами.
Через предел:
(второй
замечательный предел).
Как сумма ряда:
или 
.
Как единственное число a, для которого выполняется
Как единственное положительное число a, для которого верно
Вопрос 33
Последовательность альфаn называется бесконечно-малой если limальфаn=0.
Теорема 1. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть
–
бесконечно малая последовательность.
Это означает, что для любого положительного
числа 
существует
такой номер N,
что для всех номеров 
выполняется
условие 
,
где С –
любое действительное число. Тогда 
<
< 
,
а это и означает, что последовательность 
–
бесконечно малая.
Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть
и
–
бесконечно малые последовательности.
Это означает, что для любого
числа 
существуют
такие номера 
и 
,
что для всех номеров 
и
для всех номеров 
выполняются
условия 
и 
соответственно.
Тогда для всех номеров 
выполняется
условие
,
а это и означает, что последовательность 
–
бесконечно малая.
Следствие 1. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Следствие 2. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 3. Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть
–
бесконечно малая последовательность,
ε>0 – некоторое число, а N
– номер,
начиная с которого выполняется условие 
.
Обозначим через М наибольшее
из следующих чисел 
.
Очевидно, что 
для
любого номера n,
а это и означает, что последовательность
{
} –
ограничена.
Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть 
–
ограниченная, а
–
бесконечно малая последовательности.
Это означает, что существует число М>0
такое, что для любого номера n выполняется 
,
и для любого числа 
существует
номер N такой,
что для всех номеров
выполняется 
.
Тогда для всех номеров
и
любого ε>0 выполняется 
,
а это и означает, что последовательность 
–
бесконечно малая.
Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 5. Если элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу С, то С=0.
Доказательство. Предположим,
что 
.
Для 
существует
такой номер N,
что для всех номеров
выполняется 
.
Так как 
,
а
,
то последнее неравенство имеет вид 
,
откуда 
.
Полученное противоречие показывает,
что предположение
неверно,
следовательно, 
.
Вопрос 34
В лекциях
Вопрос 35
Постоянно величиной называется величина , сохраняющая одно и тоже значение.
Переменной называется величина , которая может принимать различные числовые значения.
Определение функции. Если каждому элементу x множества X (x принадл. X) ставится в соответствие вполне определенный элемент у множества Y (y принадл. Y) , то говорят , что на множестве X задана функция y=f(x). При этом х называется независимой переменной (или аргументом) , y – зависимой переменной , а буква f обозначает закон соответствия.
Множество Х называют областью определения функции , а множество У – областью значения функции.
Способы задания функции :
Аналитический
Табличный
Графический
Описание
Программа ПК
Фото с Кремера со всеми видами функций.