Вопрос 46

Теорема о непрерывности

Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Из непрерывности самой функции в точке x₀ не следует дифференцируемость ее в этой точке.

Теорема о дифференцируемости

Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.

При этом

Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx,

где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x₀, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения  существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что онадифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство. Если  , то

,

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0. Но тогда

Δy=f '(x₀) Δx+αΔx=> Δy→0 при Δx→0, т.е f(x) – f(x₀)→0 при x→x₀, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x₀. Что и требовалось доказать.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Р ассмотрим на рисунке точки а, b, c.

В точке a при Δx→0 отношение  не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δx→0–0 и Δx→0+0). В точкеA графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к₁ и к₂. Такой тип точек называют угловыми точками.

В точке b при Δx→0 отношение  является знакопостоянной бесконечно большой величиной  . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" cвертикальной касательной.

В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – "точка возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.

Вопрос 47

Таблица дифференциалов

Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точке x₀, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u₀ = u(x₀), тогда сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке x₀, причем

 

df(u(x)) = f '(u0)u '(x0)dx.

Так как u ^'(x₀)dx = du, то

df(u(x)) = f '(u0)du

Последняя формула показывает, что дифференциал функции записывается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции.

Это свойство первого дифференциала называют инвариантностью (неизменностью

Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функции равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du, так как u'dx = du. То есть dy = f'(u)du.  Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.