Вопрос 12

Базис – это упорядоченная система векторов e1,e2,…..en принадлежащая пространству Х при условиях :

1. Система векторов e1,e2…..en линейно-независима

2. Любой вектор х в пространстве Х может быть представлен в виде

x = k1e1 +k2n2+……knen

Теорема 1 Все базисы пространства Х являются линейно-независимыми

Теорема 2 Всякая линейно-независимая система из n-векторов пространства N образует базис

Размерность линейного пространства – это число векторов в базисе

Примечания :

1. Размерность пространства , состоящего только из одного нулевого вектора , равна нулю. Такое пространство называют тривиальным

2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно-независимых векторов , то такое пространство называют бесконечномерным.

Вопрос 13

Эвклидово пространство : векторное линейное пространство называют Эвклидовым если для любых векторов а,b принадлежащих Е можно поставить число (а,b), называемое скалярным произведением.

Неравенство Коши-Буняковского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве , это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Формулировка :

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением  . Пусть   — норма, порождённая скалярным произведением, то есть  . Тогда для любых   имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны (коллинеарны).

Комментарии

В конечномерном случае можно заметить, что  , где   — площадь параллелограмма, натянутого на векторы x и y.

Неравенство треугольника – это одно из интуитивных свойств расстояния , которое утверждает , что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму двух других сторон.

Вопрос 14

Векторы ортогональны если :

1)их скалярное произведение = 0

2)векторы перпендикулярны , то есть угол между ними равен 90 градусов

Систему векторов называют ортогональной если все векторы этой системы попарно ортогональны.

Ортонормированная система – это ортогональная система , у которой каждый элемент имеет единичную норму

Процесс Грама  (англ.) ― Шмидта — это один из алгоритмов, в которых на основе счётного множества линейно независимых векторов   строится множество ортогональных векторов   или ортонормированных векторов  , причём так, что каждый вектор   или   может быть выражен линейной комбинацией векторов  .

Вопрос 15 Линейная зависимость и линейная независимость векторов

Набор векторов   называется системой векторов.

Система из   векторов   называется линейно зависимой, если существуют такие числа  , не все равные нулю одновременно, что

Система из   векторов   называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при  , т.е. когда линейная комбинация в левой части (1.1) тривиальная.

Замечания 1.2.

1. Один вектор   тоже образует систему: при   - линейно зависимую, а при   - линейно независимую.

2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима. 2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора  , то она линейно зависима.

4. Система из   векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов   линейно независима, а после присоединения к ней вектора   оказывается линейно зависимой, то вектор  можно разложить по векторам  , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Теорема Кронекера-Копелли : система совместна (имеет хотя бы одно решение ) , тогда и только тогда , когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Док-во

1)Если решение существует , то столбец свободного члена есть линейная комбинация столбцов матрицы А , а значит её добавление не меняет ранга.

2)Если ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы А1 , то это означает , что они имеют один и тот же базисный минор.

Столбец свободных членов- это линейная комбинация столбцов базисного минора