Линейная функция (прямая линия), её график

Как уже говорилось, функция – это правило (f), по которому независимой переменной х ставится в соответствии зависимая переменная у = f(х). Множество математических функций делят на:

1. линейные функции или линейная зависимость;

2. нелинейные функции (кривые).

Линейной функцией называют функцию вида: у = ах + b, где х – независимая переменная или аргумент, а и b - данные числа. Например, у = 2х – 3, а=2, b=-3.

Можно вообще рассматривать произвольное уравнение первой степени, т.е. такое, в котором переменные х и у находятся в первой степени. Ах + Ву + С = 0, при В ≠ 0, которое по существу определяет у как линейную функцию х:

График линейной функции – всегда прямая линия. Или наоборот: любая прямая координатной плоскости, за исключением вертикальных прямых, может быть графиком линейной функции.

Рассмотрим отдельные случаи линейных функций: (Рис.4.)

1. при b = 0 – функция принимает вид у = ах. В этом случае говорят, что у прямо пропорционально х. А равенство у = ах задаёт прямую пропорциональную зависимость между х и у. График такой функции всегда проходит через начало координат, то есть точку с координатами О (0,0);

2. при а = 0 - функция принимает вид у = b. График – прямая параллельная оси ОХ;

Рис.4.

Способы построения линейной функции

І. Способ построения:

Для построения графика линейной функции необходимо знать координаты двух точек. Отложив их на координатной плоскости и соединив, мы получим график данной функции.

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти всего одну точку, так как второй будет точка начала координат (0,0).

Построим две функции у = 2х-3 и у = . Для этого необходимо составить таблицы, в которых произвольно выбрать значение х и вычислить соответствующее значение у.

у = 2х–3
х	0	2
у	у=2*0–3= –3	у=2*2–3=1

х	0	5
у	у = =3	у = =0

При составлении таблиц желательно подбирать значения х такие, при которых удобно было бы вычислять у. Так для первой функции большого значения выбор х не имеет, просто берём маленькие значения, а для второй функции число 5 при умножении сокращается со знаменателем дроби и сводит вычисление у к устному счёту. (Рис.5.)

Иногда удобно наоборот подбирать значения у и находить х.

Рис.5.

ІІ. Способ построения:

Графиком функции у = ах + b служит прямая, параллельная линии у = ах, сдвигом на b единиц вверх при b>0 или вниз при b<0.

Для функции у = 2х -3 нужно построить прямую у =2х и параллельно её сдвинуть вниз на 3 единицы (b= -3). (Рис.6.)

Соответственно, для функции у = , нужно построить прямую у = и сдвинуть её на три единицы вверх (b= 3). (Рис.7.)

Рис.6. Рис.7.

Точки пересечения графика с осями координат

График линейной функции всегда будет иметь общие точки или с одной осью координат или с двумя.

Точка пересечения с осью ОХ всегда имеет координату у = 0. (Рис.7.) Точка с координатами (5,0).

Аналогично, точка пересечения с осью ОУ всегда имеет координату х = 0. (Рис.7.) Точка с координатами (0,3).

Для того, чтобы найти точки пересечения с осями координат необходимо в уравнение функции подставить х = 0 и вычислить у, а потом наоборот: у = 0, и вычисляем х.

Зная эти точки можно строить график функции.