Производная и эластичность нелинейной функции

Несколько сложнее дело обстоит с нелинейными функциями: их производная все время меняется. Производную криволинейной функции можно определить только в конкретной точке. Для того, чтобы определить ее графически, нужно провести касательную к графику функции в этой точке. (Рис. 10.)

Касательная – линия, которая имеет с графиком функции только одну общую точку.

(Рис. 10.)

Наклон касательной в точке A намного меньше, чем в точке B. Значит, и производная в точке A меньше, чем в точке B. Если рассматривать как и раньше прямые линии, то для одинаковых значений приращения аргумента ∆х₁=∆х₂, значения приращений функции будут разными ∆у₁>∆y_2.

В случае криволинейной функции наклон касательной совпадает с наклоном функции только в одной точке – точке касания. Значит, непосредственно вычислить производную криволинейной функции в какой-либо точке можно только по очень небольшим (точнее, сказать, бесконечно (исчезающе) малым) изменениям переменных вокруг этой точки. В математике такие изменения называются дифференциалами и обозначаются не греческой буквой "дельта" (∆), как обыкновенные изменения, а латинской d. Таким образом, производная – это просто отношение дифференциалов зависимой и независимой переменных:

Такую запись принято читать как "игрек-штрих равно дэ-игрек по дэ-икс". Смысл такой записи состоит в том, что мы изменяем независимую переменную x на некоторую очень малую величину dx, затем определяем, на какую величину dy изменилась зависимая переменная y, и делим эти изменения одно на другое точно так же, как несколько раньше поступали с более крупными изменениями, полученными при анализе касательных.

Теперь опять перейдём к эластичности, но уже кривой линии. Рассуждая аналогично, как в случае с линейной функцией, запишем формулу:

Знак производной

По знаку производной можно судить о направлении изменения функции: если производная положительна, функция растет, если производная отрицательна, функция убывает. Если производная равна нулю, то функция не растет и не убывает. В случае нелинейной функции это означает, что в точке, где производная равна нулю, функция имеет минимум или максимум (математики часто говорят "экстремум" вместо "минимум или максимум"). (Рис.11.)

Рис.11.

Правила нахождения производных

Если нам известна исходная функция, мы можем отыскать по ней ее производную. В алгебре существует достаточно много правил отыскания производных, или дифференцирования.

Если с - постоянное число, и f(x), g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Правило константы	y = C => y' = 0 y = (Cf)' = C (f)'
Правило суммы	y = f(x) + g(x) => y' = f '(x) + g'(x)
Правило умножения	у = ( fg )' = f 'g+g'f
Правило деления
Правило сложной функции	если y = f(x), u = g(y), то функция u = g(f(x)) - сложная функция, или суперпозиция. u' = g(f(x))' = g'(y)*f '(x)
Обратная функция	если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функции x = f -1(y), то она тоже имеет производную в соответствующей точке: (f -1(y))у=у0 =

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список производных основных элементарных функций.

f(x)	f '(x)	f(x)	f '(x)
С	0	sin x	cos x
ха	аха-1	cos x	– sin x
ах	ахlna	tg x
ех	ех	ctg x
log a x		arcsin x
		arccos x
		arctg x
		arcctg x

Кроме правил для нахождения производных нужно помнить следующие правила:

1. переменная без показателя степени – это переменная в первой степени (x = x¹);

2. переменная в нулевой степени – это единица (x⁰ = 1).

Например, найти производную функции: y = x² + 3x - 10

y' = (x² + 3x – 10)' = (x² )'+ (3x)' – 10'=2x^2-1 + 3x^1-1 - 0 = 2x¹ + 3x⁰ = 2x + 3