4. Случайные погрешности измерений

   1. Вероятностное описание результатов измерений и погрешностей

Когда при проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных наблюдений одной и той же постоянной величины получаются результаты, отличающиеся друг от друга, это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей. При этом можно лишь с определенной долей уверенности утверждать, что истинное значение измеряемой величины находится в пределах разброса результатов наблюдений от х_max до х_min.

Установить вероятностные (статистические) закономерности появления случайных погрешностей и на основании этих закономерностей дать количественные оценки результата измерения и его случайной погрешности позволяют методы теории вероятностей и математической статистики.

Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма – закон распределения плотности вероятностей случайной величины.

Рассмотрим формирование дифференциального закона на примере измерений с многократными наблюдениями.

Пусть произведено n последовательных наблюдений одной и той же величины х и получена группа наблюдений х₁, х₂, х₃, ..., x_n. Каждое из значений х_i, содержит ту или иную случайную погрешность. Расположим результаты наблюдений в порядке их возрастания, от х_min до х_max и найдем размах ряда R = х_max– х_min. Разделив размах ряда на k равных интервалов , подсчитаем количество наблюдений n_k, попадающих в каждый интервал.

И зобразим полученные результаты графически, нанеся на оси абсцисс значения физической величины и обозначив границы интервалов, а по оси ординат – относительную частоту попаданий . Построив на диаграмме прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов ΔR, а высотой , получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений в данном опыте (рис. 2.5).

Если распределение случайной величины х статистически устойчиво, то можно ожидать, что при повторных сериях наблюдений той же величины, в тех же условиях, относительные частоты попаданий в каждый интервал будут близки к первоначальным.

При бесконечном увеличении числа наблюдений n → ∞ и бесконечном уменьшении ширины интервалов ΔR → 0, ступенчатая кривая, огибающая гистограмму, перейдет в плавную кривую f(х) (рис. 2.5), называемую кривой плотности распределения вероятностей случайной величины. Уравнение, описывающее эту кривую, называется дифференциальным законом распределения. Кривая плотности распределения вероятностей подчинена условию нормировки в виде

.

Вероятность Р попадания случайной величины х в интервал от (х₁, х₂) определится как

.

Кроме непрерывных случайных величин в метрологической практике встречаются и дискретные случайные величины. Пример распределения дискретной случайной величины приведен на рис. 2.6.

Для описания частных свойств случайной величины используют числовые характеристики распределений. В качестве числовых характеристик выступают моменты случайных величин: начальные и центральные. Все они представляют собой некоторые средние значения; причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения – центральными.

Начальный момент k-го порядка определяется формулами:

, ,

где p_i – вероятность появления дискретной величины.

Здесь и ниже первая формула относится к непрерывным, а вторая – к дискретным случайным величинам.

Из начальных моментов наибольший интерес представляет математическое ожидание случайной величины (k = 1):

, .

Центральные моменты k-го порядка рассчитываются по формулам:

, .

Из центральных моментов особенно важную роль играет второй момент (k = 2), дисперсия случайной величины D:

, .

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений. Она имеет размерность квадрата случайной величины. Однако чаще пользуются положительным корнем квадратным из дисперсии – средним квадратическим отклонением (СКО), которое имеет размерность самой случайной величины. СКО также называют стандартным отклонением.

Отметим некоторые общие свойства моментов.

1. Начальный момент k-го порядка постоянной величины С равен этой величине в k-й степени:

m_k(C) = C^k.

2. Центральный момент любого порядка от постоянной величины равен нулю:

μ_k(C) = 0.

3. Постоянный множитель С можно выносить за знак момента следующим образом:

m_k(Cx) = C^k m_k(x).

μ_k(Cx) = C^k μ_k(x).

4. Если случайные величины x и y независимы, то для их суммы u = x + y справедливы следующие уравнения:

D(u)=D(x)+D(y);

σ²(u)= σ²(x) + σ²(y).

5. Если а и b – постоянные, а х и y – независимые случайные величины, то для u = ax + by справедливо соотношение

σ²(u)=а²σ²(x) + b²σ²(y).