3. Нормальный закон распределения погрешностей

Целью любого измерения является нахождение оценки истинного значения и указание точностных характеристик этой оценки. В метрологической практике принято указывать интервал, в котором с определенной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины. Центр такого интервала на основании результатов измерений ( ) может быть определен различными способами:

– как медиана

– как мода Мо;

– как среднее геометрическое значение ;

– как среднее степенное значение . Его частные случаи:

– при F = 1 – среднее арифметическое ;

– при F = 2 – среднее квадратичное значение ;

– при F = -1 – среднее гармоническое значение .

Чаще всего в качестве оценки математического ожидания случайной величины используется среднее арифметическое. Такое использование предложил Карл Гаусс. В работе "Теория движения небесных тел, вращающихся вокруг солнца по коническим сечениям", Гаусс предложил описывать ошибки наблюдений экспоненциальной функцией, сформулировав для этого несколько положений:

– одинаковые по величине ошибки у отдельных наблюдений следует принимать за равновероятные;

– (в данных) без различия одинаково могут встречаться ошибки более крупные и более мелкие, более мелкие ошибки встречаются чаще, чем более крупные;

– если какая-нибудь величина будет определена из многих непосредственных наблюдений, произведенных при одинаковых обстоятельствах и с одинаковой тщательностью, то среднее арифметическое из всех наблюдавшихся значений окажется наиболее вероятным значением, если не абсолютно точно, то, по крайней мере, очень близко к этому, так что всегда будет наиболее надежным придерживаться именно такого значения.

Функция, полученная Гауссом, имела вид . Параметр h Гаусс рассматривал как меру точности наблюдений [6].

Современный вариант доказательства приведен в [8].

Пусть – результаты n равноточных измерений величины, истинное значение которой равно z. Случайные погрешности измерений распределены по некоторому неизвестному закону с плотностью распределения . В соответствии со вторым положением, вероятность больших значений случайной погрешности мала по сравнению с вероятностью ее малых значений. Поэтому вероятность того, что результат измерения будет равен , равна , где Δх – малая величина. Вероятность получения ряда результатов измерений , по теореме умножения вероятностей, будет равна произведению вероятностей :

.

Существует такое z = θ, при котором эта вероятность принимает максимальное значение . Так как ln P является монотонной функцией Р, при z = θ функция ln P также примет максимальное значение:

.

Продифференцируем по z

, (2.8)

где – производная от плотности по .

В соответствии с третьим положением, . Это выражение

можно записать так . Объединяя его с (2.8) получим . Для справедливости этого выражения при любых значениях необходимо и достаточно, чтобы для любого i = 1, 2, …, n выполнялось условие

. (2.9)

(2.9) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции f(x – θ). Его решением является функция

.

Подставляя это выражение в уравнения для вычисления моментов, после преобразований можно получить, что математическое ожидание этого распределения m = θ, а дисперсия . С учетом этого плотность распределения результатов измерений х равна

. (2.10)

Так как погрешность измерений , ее распределение имеет вид

. (2.11)

Распределение (2.10) получило наименование "нормальное распределение случайной величины" или "распределение Гаусса".

График плотности нормального распределения приведен на рис. 2.7.

Распределение обладает следующими свойствами.

1. Распределение симметрично относительно математического ожидания, поэтому мода и медиана совпадают с математическим ожиданием Mo = Me = m.

2. Распределение является воспроизводящим – сумма случайных величин, распределенных нормально, также распределена нормально.

3. Вероятность нахождения случайной величины х в интервале от а до b определится как

, (2.12)

где – интегральная функция нормального распределения с m = 0 и σ = 1.

Определенный интеграл называется интегральной функцией Лапласа. Поэтому (2.12) может быть представлено в виде . Значения интегральной функции Лапласа приводятся в таблицах.

Н а рис. 2.7 изображены кривые нормального распределения с различными средними квадратическими отклонениями, причем σ₁ < σ₂. Сравнивая кривые между собой можно убедиться, что чем меньше СКО, тем меньше рассеяние результатов наблюдений, тем выше качество измерений.

В своей работе [6] Гаусс писал, что "полученная таким образом функция, очевидно, не может со всей строгостью выразить вероятности ошибок. Так как возможные ошибки всегда заключаются в известных пределах, то вероятность более круп-ной ошибки, лежащей вне этих пределов, всегда должна равняться нулю, а между тем формула всегда дает некоторое конечное число. Однако этот недостаток, которым страдает по природе своей всякая аналитическая функция, для любых практических целей не имеет никакого значения. Кроме того, сама природа вопроса никогда не позволит, чтобы пределы ошибок были установлены с абсолютной строгостью".

Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, нормальное распределение имеет сумма бесконечно большого числа бесконечно малых случайных возмущений с любыми распределениями. Применительно к измерениям это означает, что нормальное распределение случайных погрешностей возникает тогда, когда на результат измерения действует множество случайных возмущений, ни одно из которых не является преобладающим. Практически, суммарное воздействие даже сравнительно небольшого числа возмущений приводит к закону распределения погрешностей измерений, близкому к нормальному. Однако распределение случайных погрешностей может и отличаться от нормального.