10. С уммирование случайных погрешностей

Недостатком оценивания случайной погрешности доверительным интервалом при произвольно выбираемых доверительных вероятностях является невозможность суммирования нескольких погрешностей, так как доверительный интервал суммы не равен сумме доверительных интервалов. В то же время необходимость в суммировании случайных погрешностей существует, когда нужно оценить погрешность суммированием ее составляющих, подчиняющихся к тому же разным законам распределения.

В теории вероятностей показано, что суммирование случайных величин осуществляется следующим образом.

Математическое ожидание суммарной погрешности определяется как алгебраическая сумма математических ожиданий ее составляющих:

.

Дисперсия результирующей погрешности определяется как

,

где σ_i – дисперсии составляющих;

r_ij – коэффициент корреляции.

Если связи между составляющими нет, то r_ij = 0.

Если возникновение одной составляющей погрешности ведет к возникновению другой составляющей, т.е. +Δх₁ → +Δх₂ или +Δх₁ → -Δх₂, то r_ij = ±1.

1. Рассмотрим случай, когда все составляющие погрешности имеют нормальный закон распределения.

Пусть известны Δх_i и P_i – доверительные вероятности. По этим данным определяем СКО составляющих погрешности σ_i

,

где z_pi – квантили нормального распределения.

Если доверительные интервалы одинаковые, то для коррелированных составляющих (r_ij=±1) получим

.

Суммарное среднеквадратическое отклонение для двух коррелированных составляющих составит

.

Для некоррелированных составляющих суммарное СКО

.

Суммарная абсолютная погрешность вычисляется по найденному суммарному СКО и известной квантили

.

Результаты можно сформулировать следующим образом.

Для независимых составляющих погрешности применимо геометрическое суммирование (z_p при подстановке σ_Σ в формулу для абсолютной погрешности сокращается)

.

Для зависимых составляющих погрешности применяют арифметическое суммирование

.

При этом получается завышенное значение погрешности.

2. Рассмотрим случай, когда суммируемые погрешности имеют равномерные законы распределения.

В частном случае, для двух составляющих погрешности, закон распределения суммарной погрешности будет представлять собой результат свертки двух прямоугольников – трапецию (рис. 2.14). Дисперсия определится по формуле для центрального момента второго порядка.

Δx₁

Δx₂

Δx_Σ

Если составляющих погрешности пять или более, суммарная погрешность (доверительный интервал суммирования) определится как

,

где в качестве принимается квантиль нормального закона распределения z_p.

Если независимые составляющие случайной погрешности имеют конечные законы распределения, то при различных значениях доверительной вероятности принимается равным при Р_дов= 0,9 и при Р_дов = 0,95; при этом погрешность определения довери-тельного интервала (суммарной погрешности) Δ_Σ не превышает 10 %.

Заключение

В учебном пособии приведены сведения по основам метрологии и вероятностному описанию погрешностей измерений, которое используется при обработке результатов измерений в соответствии с действующими нормативными документами.