Обобщенный нормальный закон распределения
Справедливость третьего положения, сформулированного Гауссом при выводе нормального закона распределения, неоднократно подвергалась сомнению. В частности, было показано, что есть СИ, для которых он не выполняется [8]. Теоретически доказано, что среднее арифметическое является эффективной оценкой измеряемой величины только при нормальном законе распределения погрешностей. На практике обработка результатов измерений проводится при предположении об их нормальном распределении, поскольку только оно полностью обеспечено статистическими распределениями, необходимыми для решения измерительных задач. Поэтому актуально обобщение нормального распределения случайных погрешностей измерений другим вероятностным законом, который, сохранив преимущества нормального распределения, в то же время благодаря своей гибкости был бы способен более точно аппроксимировать выборочные распределения рядов измерений. Такое распределение можно получить, если в приведенном аксиоматическом выводе Гаусса заменить третий постулат следующим.
Если какая-нибудь величина будет определена из многих равноточных измерений , то среднее степенное из всех наблюдавшихся значений с параметром F, значение которого определено по ряду , окажется ее наиболее вероятным значением.
При этом произвольный
показатель степени F
определяется из выборки и в частном
случае может равняться 1. Этот подход
впервые применил в 1955 г. И.Г. Фридлендер
[7].
В результате он получил новое распределение,
обобщающее нормальный закон. Однако
это распределение обладало существенным
недостатком: ограничением области
распространения неотрицательными
значениями величин, противоречащим
первому постулату К. Гаусса и природе
погрешностей измерений. Но этот недостаток
может быть устранен [8], если в качестве
истинного значения измеряемой величины
принять при
предел при
значения
,
где
(sign(y)
– знак величины y).
В частном случае при F
= 0 в качестве истинного значения можно
принять предел при
значения
,
где
.
Из аксиоматического вывода Гаусса в этом случае следует, что по нормальному закону будут распределены значения
(2.13)
Так как значения
подчиняются нормальному распределению
с плотностью
,
математическим ожиданием
и стандартным отклонением
,
плотность распределения значений
равна
(2.14)
Выражение (2.14) описывает плотность обобщенного нормального распределения случайной погрешности измерений. В отличие от нормального распределения, это распределение является трехпараметрическим: к параметрам и добавляется F . При этом оценки и зависят от F. На рис. 2.8 приведены графики плотности этого распределения при различных значениях , и F. Они показывают, что, изменяя параметр F, можно получить принципиально отличающиеся друг от друга плотности распределения: симметричные и несимметричные, с пологой вершиной и островершинные, одномодальные и двухмодальные, с коэффициентом асимметрии в диапазоне от 0 до 5, а эксцесс – от 1 до 20.
Вероятность, что случайная погрешность измерения, подчиняющаяся обобщенному нормальному распределению, находится в интервале (а, b], вычисляется по формуле
,
где
–
функция x
= a
или b.