11.2. Уравнения движения ла в векторной форме
11.2.1. Уравнения движения центра масс.
Учитывая выражение (80,а) в уравнении (87) можно положить:
,
где
– масса ЛА в момент времени
;
– переносное
движение центра массы ракеты (движение
связанной с корпусом точки, с которой
совпадает центр массы ракеты в
рассматриваемый момент времени).
В результате получим
(89)
В общем случае
нельзя записать левую часть в обычном
виде
, поскольку, когда центр масс перемещается
относительно корпуса ракеты со скоростью
и ускорением
,
а корпус вращается относительно
инерционной системы координат с угловой
скоростью
,
между переносной скоростью
и ускорением
имеется следующее соотношение:
(90)
Перейдем
к абсолютному ускорению центра масс
с помощью известной формулы:
(91)
Учитывая (89), получаем:
(92)
Последние два члена в правой части уравнения есть силы, обусловленные перемещением центра масс ЛА относительно корпуса.
Итак,
вывод уравнения движения тела переменного
состава сводится к определению реактивных
сил, что является сложной задачей.
Основной из этих сил является реактивная
сила –
(см. раздел 11.1), которую не удается
непосредственно замерить. Поэтому
принято определять силу тяги РД по
формуле (85), в которую входит сила,
вызванная атмосферным давлением и
давлением газа на срезе сопла
.
Эта сила является внешней, её объединяют
с собственно реактивной силой
,
поскольку при испытании РД измеряется
сила, действующая на опоры стенда,
которая определяется формулой (85).
Соответственно
сила
исключается из числа внешних сил.
Кроме
силы тяги
,
определенной формулой (85) в состав сил,
обусловленных переменным составом ЛА,
входят:
– силы, вызванные нестационарностью движения топлива и продуктов горения относительно корпуса ракеты;
– кориолисовы силы, обусловленные движением топлива и продуктов горения в ЛА, вращающимся относительно инерциальной системы координат;
– силы, обусловленные перемещением центра массы ЛА относительно корпуса.
Перечисленные силы очень малы по сравнению с тягой, определяемой формулой (85), причем непосредственное измерение их невозможно. Поэтому, в динамике полета обычно пренебрегают указанными реактивными силами и определяют силу тяги РД согласно формулы (85).
Следовательно, с достаточной для практики точностью векторное уравнение движения центра масс ЛА (92) можно записать в виде:
(93),
где
–
масса ЛА в момент времени
;
– ускорение центра масс в инерциальной
системе координат;
– главный вектор
внешних сил, приложенных к ЛА;
– главный вектор сил тяги РД.
Под внешними
силами, действующими на ЛА, подразумеваются
сила притяжения
,
полная А.д. сила
,
сила взаимодействия с пусковой установкой
или отбрасываемой ступенью.
Уравнение (93) – основное уравнение динамики точки переменной массы. Оно выражает, что “Уравнение движения точки переменной массы приводится к виду уравнения движения точки постоянной массы, если к приложенным к точке силам присоединить реактивную силу" (уравнение Мещерского).
11.2.2. Уравнение вращательного движения относительно центра масс.
Аналогичным образом составляется приблизительное векторное уравнение вращательного движения ЛА относительно центра масс:
, (94)
где
– главный момент относительно центра
масс количеств движения частиц
"затвердевшего" ЛА относительно
осей, проходящих через центр масс и
движущихся поступательно со скоростью
относительно инерционной системы
координат;
– главный момент (относительно центра
масс) всех внешних сил, действующих на
ЛА, за исключением сил атмосферного
давления и давления газов на срезе
сопла;
– главный момент (относительно центра
масс) сил тяги РД, а также сил, вызванных
движением топлива и газов внутри
вращающегося ЛА.
Для упрощения уравнения вращательного движения ЛА относительно центра масс пренебрегают моментами сил, обусловленными нестационарностью движения топлива газов внутри корпуса и перемещением центра масс ЛА относительно корпуса, поскольку эти моменты достаточно малы.
Отметим, что имеют место значительные по величине моменты, обусловленные колебаниями жидкости в топливных баках при наличии свободной поверхности. Однако при соответствующем выборе параметров системы стабилизации ЛА последствия подвижности жидкости в баках оказываются малыми и их влияние на траекторию полета несущественно.
В дальнейшем при выводе уравнений движения ЛА предполагаем, что аппарат является абсолютно жестким телом, т.е. не учитывается упругость ракеты и наличие жидкого топлива в баках.