11.4. Общая система уравнений движения летательного аппарата.

Пренебрегаем центробежными и кориолисовыми силами, вызванными вращением Земли, при рассмотрении полета летательного аппарата в атмосфере.

Пренебрегаем кривизной земной поверхности и считаем, что сила тяжести направлена вдоль земной оси Оу_з, проведенной из точки пуска ракеты.

Вследствие этих допущений координата у и высота полета H тождественны (у ≡ H).

Фиг. 57. Криволинейный полет в вертикальной плоскости.

Фиг. 58

Т.к. сила тяжести направлена в отрицательную сторону оси Оу_з, то ее проекции на полускоростные оси Ох, Оy_*, Оz_* будут соответственно:

; ; ( 119 ).

Вычислим проекции относительного ускорения на полускоростные оси.

В полускоростной системе координат:

; ; ( 120 ).

Запишем ускорения центра масс летательного аппарата в проекциях:

;

; ( 121 ).

Запишем уравнения движения центра масс летательного аппарата в развернутом виде:

( 122 ).

Левые части уравнений системы (122) содержат проекции ускорения j центра масс летательного аппарата на полускоростные оси координат.

Проекция ускорения j на касательную к траектории (тангенциальное ускорение) равна:

.

Проекции ускорения на нормаль к траектории, лежащую в вертикальной плоскости, и на нормаль к траектории, параллельную горизонтальной плоскости, соответственно равны:

Правые части уравнений (122) содержат суммы проекций всех внешних сил, действующих на летательный аппарат, на соответствующие полускоростные оси координат.

Чтобы центр масс летательного аппарата двигался по криволинейной траектории, необходима центростремительная сила.

При полете в вертикальной плоскости ( ) для получения криволинейной траектории необходима центростремительная сила

.

Эта сила получается за счет разности проекции на нормаль к траектории Оу_* нормальной силы и веса .

Чтобы вогнутость траектории была направлена вверх ( ), нормальная сила должна быть больше (см. фиг. 57), чтобы вогнутость траектории была направлена вниз ( ), сила должна быть меньше .

Для получения криволинейной траектории при полете в горизонтальной плоскости ( ) должна быть создана центростремительная сила . Эта сила может быть получена в результате накренения летательного аппарата ( ), или скольжения летательного аппарата , или одновременно эти действия.

Перейдем к составлению системы уравнений движения летательного аппарата. Запишем 6 динамических уравнений и 3 кинематических уравнения:

1.

2.

3.

4. ;

5. ; ( 123 ).

6. ;

7. ;

8. ;

9.

Кинематические уравнения движения центра масс летательного аппарата.

Оси координат, в которых изучается движение центра масс летательного аппарата, выбираются в зависимости от условий рассматриваемой задачи и, в частности, типа систем управления. В одних случаях удобно рассматривать движение летательного аппарата относительно выбранных осей координат, в других – движение цели относительно летательного аппарата.

Фиг.58. К выводу кинематических уравнений движения центра масс летательного аппарата.

При изучении движения летательного аппарата положение его центра масс О в векторной форме определяется радиусом-вектором:

( 124 ).

Проведенным из начала Р рассматриваемой системы осей координат (фиг.58).

Вектор называется вектором дальности, а прямую РО, проходящую через начало координат и центр масс летательного аппарата - линией визирования летательного аппарата.

Дифференцируя (124), получаем кинематическое уравнение движения летательного аппарата в векторной форме:

( 125 ).

где - вектор скорости летательного аппарата;

- вектор скорости начала координат (носителя).

При неподвижном начале координат уравнение (125) принимает вид:

( 126 ).

Фиг. 59. К выводу кинематических уравнений относительного движения летательного аппарата и цели.

При изучении относительного движения летательного аппарата и цели в качестве вектора дальности , определяющего взаимное положение летательного аппарата и цели, целесообразно выбирать вектор, проведенный из центра масс летательного аппарата О в центр масс цели С (Фиг. 59)

( 127 ).

Такой выбор вектора объясняется тем, что для управления летательным аппаратом при самонаведении используются координаты цели относительно осей, связанных с аппаратом. Прямую ОС, проходящую через центры масс летательного аппарата и цели, будем называть линией визирования цели, а вектор - вектором дальности.

Дифференцируя (127) получим векторное кинематическое уравнение, описывающее движение цели относительно летательного аппарата:

( 128 ),

где - вектор скорости цели.

Каждому векторному уравнению соответствуют 3 скалярных, конкретный вид которых зависит от выбранных осей координат.

Рассмотрим движение летательного аппарата относительно плоской Земли с помощью таблицы 5. (косинусы углов между полускоростными и местными географическими осями).

Таблица 5.

Оси	OXг	OYг	OZг
OX	cosθcosψ	sinθ	-cosθsinψ
OY*	-sinθcosψ	cosθ	sinθsinψ
OZ*	sinψ	0	cosψ

Проектируя с помощью таблицы 5 уравнение (127) на земные декартовы оси, получим следующие скалярные уравнения:

(129)

В ряде задач, например, при изучении движения телеуправляемого летательного аппарата, удобно использовать сферическую систему земных осей координат (фиг.63).

Фиг. 63

Как видно из фигуры 63, положение в пространстве точки О относительно земных осей определяется следующими сферическими координатами:

1) - наклонной дальностью;

2) - углом места между радиус-вектором и горизонтальной плоскостью;

3) - азимутом (угол между проекцией вектора дальности на горизонтальную плоскость и земной осью ).

На фигуре 63 показаны координатные линии ( ), ( ), ( ) и координатные оси [ ], [ ], [ ] в данной точке О.

Линией ( ) и осью [ ] служит прямая, выходящая из начала координат Р и проходящая через взятую точку;

линией ( ) – окружность большого круга;

осью [ ] – касательная к этой окружности в сторону возрастания угла ;

линией ( ) – будет окружность параллельного круга радиусом ;

осью [ ] – касательная к ней в сторону возрастания угла .

Составим скалярные кинематические уравнения, проектируя (127) на сферические координатные оси в точке О.

Как известно из механики проекции вектора в сферической системе координат будут:

(130)

Чтобы спроектировать на сферические координатные оси вектор скорости , нужно знать косинусы углов между вектором и этими осями (таб.62).

Таблица 6

[ ]
[ ]
[ ]

косинусы углов между осями сферической и декартовой систем координат.

Направление относительно земных осей определяется направляющими косинусами (табл.5): , ,

Учитывая (130), и составляют сумму произведений соответствующих направляющих косинусов, получим:

(131)

или:

(132)

Аналогичным путем получаем кинематические уравнения для случая, когда начало координат Р движется в пространстве со скоростью . Проектируя (125) на сферические координатные оси в точке О, найдем:

(133)

Кинематические уравнения, описывающие относительное движение летательного аппарата и цели, получается проектированием (128) на сферические координатные оси в центре масс цели С:

(134)

Полученные векторные уравнения движения в принципе могут быть использованы для решения любых технических задач.

Выбирая оси координат для проектирования этих уравнений, всегда целесообразно добиваться упрощения получаемых скалярных уравнений. По этой причине часто оказывается удобным при исследовании динамики летательных аппаратов использовать уравнения движения центра масс летательного аппарата в проекциях на полускоростные оси.

Выбор кинематических уравнений движения центра масс летательного аппарата обусловлен типом системы управления. Для исследования движения летательного аппарата при автономном управлении можно использовать уравнения (129). В этом случае начало координат выбирается где-либо на земной поверхности, например, в точке пуска.

Уравнения (132) и (133) удобно применять при изучении движения телеуправляемого летательного аппарата. Тогда начало координат будет располагаться в командном пункте, неподвижном или движущемся. Уравнения (134) используются обычно при исследовании самонаведения.

Для общих рассуждений удобнее взять уравнения (132), описывающие движение центра масс летательного аппарата при неподвижном пункте управления. Однако нельзя полностью отбросить уравнения (129). Так как тяга реактивного двигателя, расход топлива, аэродинамические силы и ускорения силы тяжести зависят от высоты H, то необходимо оставить кинематическое уравнение, описывающее изменение этой координаты. В итоге получим:

(123,б)

К записанным уравнениям необходимо добавить уравнение, описывающее изменение массы и геометрические соотношения:

(123,в)

Система уравнений (123) содержит 17 уравнений, в том числе 14 дифференциальных уравнений 1-го порядка и 3 геометрических соотношения. Эта система может использоваться для описания движения неуправляемого летательного аппарата, но для управляемого летательного аппарата она ещё не замкнута.

Выясним, соответствует ли число неизвестных в системе (123) числу уравнений. Представим, что летательный аппарат неуправляем, то есть органы управления зафиксированы, а тяга реактивного двигателя (или подача топлива) не регулируется. Тогда силы G,P,X,Y,Z, действующие на летательный аппарат и моменты M_x,M_y,M_z относительно связанных осей, будут однозначно определяться параметрами движения летательного аппарата.

Нетрудно видеть, что в случае неуправляемого полёта (или полета с зафиксированными органами управления), рассматриваемая система (123) является замкнутой, то есть число неизвестных функций V(t),Θ(t),Ψ(t),α(t),β(t),γ(t),ω(t),ω(t),ω(t),ψ(t),θ(t),γ(t),r(t),φ(t),χ(t),Η(t),m(t) равно числу уравнений.

При этом, если отсутствуют случайные возмущения, траектория полёта полностью определяется начальными условиями – значениями кинематических параметров движения в начальный момент времени:

V(t₀), Θ(t₀),…, m(t₀).

В то время, как неуправляемый летательный аппарат, как твёрдое тело имеет 6 степеней свободы, управляемый летательный аппарат обладает в общем случае уже 12-ю степенями свободы: 6 степеней свободы для движения центра масс и вращения вокруг центра масс и 6 степеней свободы соответствующих органов управления. В частном случае, когда управляющие нормальные силы создаются вращением летательного аппарата вокруг двух осей, летательный аппарат имеет 4 органа управления: органы управления вращательными движениями тангажа, рыскания и крена и тягой реактивного двигателя. В случае управляемого полёта система (123) не является замкнутой, так как проекции сил и моментов, входящие в правые части уравнений, зависят от перемещений органов управления движениями тангажа δ_в, рыскания δ_н, крена δ_э и тягой двигателя δ_др.

Таким образом, к перечисленным 17–ти неизвестным добавляется ещё параметр δ_др, характеризующий режим работы реактивного двигателя и углы отклонения органов управления тангажом, рысканием и креном δ_в, δ_н, δ_э.

Если, помимо начальных условий, задать изменение во времени величин δ_др(t), δ_в(t), δ_н(t), δ_э(t), то тем самым будет определена единственная проекция траектории летательного аппарата. В реальном полёте изменение δ_др (или ǽ) и отклонение органов управления осуществляется лётчиком или системой управления в зависимости от выполняемой задачи полёта. Чтобы задача нахождения решения системы (123), то есть определения траектории полёта, стала в принципе осуществимой, необходимо к системе управления движения летательным аппаратом добавить уравнения, описывающие процессы в системе управления и связывающие перемещения органов управления с параметрами движения летательного аппарата. Эти уравнения могут иметь совершенно различный конкретный вид в зависимости от принципа работы и устройства системы управления.

В самом общем виде уравнения системы управления можно записать следующим способом:

, (123г)

где F₁,F₂,F₃,F₄ – функционалы от функций, взятых в квадратные скобки.

С учётом (123г) система уравнений (123) становится замкнутой и для управляемого движения, причём решение системы (траектория управляемого полёта) определяется заданием начальных условий и конкретных связей, накладываемых на движение летательного аппарата системой управления.