12.2. Полёт летательного аппарата в центральном поле тяготения за пределами атмосферы.

При рассмотрении свободного полёта баллистической ракеты будем использовать инерциальную полярную систему координат (r, β) с полюсом в центре Земли (фиг.68).

Фиг.68 к выводу уравнений движения в полярной системе координат.

Точка А – точка начала свободного полёта, которая совпадает с точкой конца участка выведения.

Различия между системами координат r, β (фиг.68) и r, χ (фиг.68) заключается не только в выборе начала отсчёта углов, но и в несовпадении плоскостей. Из-за вращения Земли. Баллистическая ракета имеет переносную скорость с запада на восток, которая зависит от географической широты точки А. Поэтому, скорость V_a в начале участка свободного полёта определяется векторным сложением скорости, полученной в конце участка выведения, и переносной скорости. Поэтому и плоскость полярной системы координат r, β, в которой лежит вектор V_a не совпадает с плоскостью системы r, χ.

Задача о свободном полёте тела в поле центрального тяготения называется задачей Кеплера и относится к числу основополагающих задач небесной механики.

На тело массы М в условиях свободного полёта действует только центральная сила тяготения ,

где – константа гравитационного поля Земли ( );

γ – гравитационная постоянная.

Т.к. из закона тяготения сила тяжести, действующая на ракету, постоянно направлена к центру Земли, а ускорения свободного падения g на расстоянии r от центра Земли (при r>R), равно

Потенциальная энергия массы М, находящейся на расстоянии r от центра тяготения, равна:

.

Сумма потенциальной и кинетической энергией при свободном полёте остаётся неизменной, следовательно:

, или

(154),

где H – постоянная, характеризующая энергетический уровень движущегося тела.

Т.к. в начальной точке свободного полёта V и r имеют значения V_a, r_a, то:

(155)

Но скорость

.

Следовательно, уравнение (154) можно записать в виде:

(156)

Из условия неизменности момента количества движения относительно притягивающего центра, получим:

,

где – угол наклона траектории к местному горизонту;

– перпендикулярная радиус-вектору составляющая скорости V.

Следовательно, , где c – постоянная, выражается через начальные параметры движения:

(157)

Из фигуры 68 видно:

(158)

Выражению (158) можно дать наглядное геометрическое толкование. Площадь сектора Оa в фиг.69 равна . Следовательно, в единицу времени радиус-вектор пробегает площадь . Уравнение (158) показывает, что секториальная скорость при свободном движении тела в центральном поле тяготения остается величиной постоянной.

Если из уравнений (156) и (158) исключить время t, то получим зависимость , т.е. уравнение траектории свободного полета в полярной системе координат.

Траектория движения в общем виде

Запишем выражение для в виде:

.

Из уравнения (158) следует

Выражения для и (уравнение 158) подставим в (156):

, следовательно .

Под знаком радикала ( ) прибавим и вычтем величину , откуда следует:

.

Разделим правую и левую часть на и введем новое обозначение:

(159)

и приведем уравнение к виду:

.

Полученное уравнение легко интегрируется. В левой части получаем , где – постоянная интегрирования, а в правой части будет arcos u или arcsin u ( в зависимости от того, какой знак выбран). Значит переменная U представляет собой либо sin, либо cos аргумента . Оба решения равноправны. Различие определяется только выбором постоянной интегрирования .

Примем U= cos .

Вернемся к исходному переменному r .

Согласно уравнению (159):

Если воспользоваться уравнениями (155) и (157), легко показать, что подкоренное выражение положительное:

. (160)

Сумма квадратов всегда положительная.

Введем обозначения:

– параметр (161)

– эксцентриситет (162)

После этого уравнение траектории примет вид:

. (163)

Постоянная зависит от выбора начала отсчета угла и определяется очевидно:

при радиус-вектор

Аргумент , стоящий под знаком косинуса, называется истинной аномалией.

Истинная аномалия отсчитывается от той точки траектории, в которой радиус-вектор принимает наименьшее значение

.

Полученное уравнение есть уравнение кривой второго порядка полярной системе координат с полюсом в одном из фокусов кривой.

При уравнение (163) представляет уравнение эллипса; при – уравнение параболы; при – уравнение гиперболы.

Предположим е = 0, отсюда (163) будет r = p = const, т.е. траектория свободного полета представляет собой окружность.

Чтобы эксцентриситет е (162) обратился в ноль, необходимо, чтобы правая часть уравнения (160) была равна нулю, т.е. каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, угол ν_A=0. это означает, что движение по круговой орбите возможно при условии, когда вектор начальной скорости параллелен местному горизонту.

Приравняв нулю первую скобку в правой части (160), получим значение начальной скорости V_A:

(164).

где V_круг– первая космическая (круговая) скорость.

Для Земли g₀ = 9,820 м/с², при высоте орбиты Н_А = 200 км первая космическая скорость равна V_круг = 7790 м/с.

Введем понятие:

( 165 ) – квадрат безразмерной скорости.

Из (155) получим значение Н и приведем выражение параметра р (161) и эксцентриситета е (162) к следующей форме:

(166).

По мере увеличения квадрата безмерной скорости ν_A комплекс в начале увеличивается, а затем уменьшается, и при ν_A = 1 достигает своего максимума равного 1.

Если угол ν_A=0, но эксцентриситет е = 0, и траектория будет круговой. При ν_A = 2, независимо от угла ν_A, эксцентриситет е = 1. т.е., при траектория будет параболической, а тело, брошенное со второй космической скоростью (параболической) будет удаляться на неограниченное расстояние от центра тяготения. С параболической скоростью летают к Луне.

При ν_A> 2 и при любых значениях ν_A эксцентриситет е > 1. тогда полет происходит по гиперболе, двигаясь по ветви которой тело к Земле не возвращается. Скорости, большие параболической, применяются для полета на Марс и Венеру.

Траектории, близкие к Земле, в диапазоне скоростей 0 < ν_A< 2, во всех случаях представляют собой эллипс. В частных случаях эллипс вырождается в окружность, а при ν_A=90⁰ (вертикальный полет) – в прямую. Траектории могут пересекаться с поверхностью Земли (баллистические ракеты дальнего действия), а могут и не пересекаться (последние ступени ракетоносителей и ИСЗ – искусственных спутников Земли).