Фиг.69 Траектории свободного полета при различных скоростях выведения.

Точка орбиты (для Земли), наиболее удаленная от центра притяжения, называется апогей, а наименее удаленная – перигей.

Радиусы апогея и перигея r_π определяются из выражения (163), если в нем принять :

;

. (167)

Чтобы обеспечить длительное существование ИСЗ на околоземной орбите, необходимо, чтобы точка перигея была вне атмосферы, т.е. на высоте не менее 200 км. Тогда уравнение (167) можно записать в виде:

> R + H

Зная начальные параметры свободного полета можно сказать, созданы ли условия для существования спутника (ИСЗ). Если полезный груз выводится в точке перигея и то при (при ) все точки траектории будут вне круга с радиусом (фиг. 69). При орбита будет круговой, при траектория становится траекторией “убегания”.

Расчет траектории полета баллистической ракеты.

Во время работы двигательной установки масса ракеты уменьшается, т.к ракета является телом переменного состава. При выводе уравнений движения применим принцип затвердевания. Руководствуясь этим принципом, уравнения движения ракеты в произвольный момент времени будем записывать как уравнения движения твердого тела переменного состава (для того же момента времени), включив в число внешних сил реактивные и кориолисовы силы.

Уравнения движения центра масс и вращения относительно центра масс в векторной форме имеют вид:

(168)

где – масса ракеты;

– ускорение центра масс в инерциальной системе координат;

– сумма всех внешних сил, приложенных к ракете;

– главный момент количества движения твердого тела;

– главный момент внешних сил, приложенных к телу.

Спроецируем первое уравнение (168) на подвижные прямоугольные оси координат , имеющие начало в центр масс ракеты. Получим

(169)

где – проекции вектора скорости центра масс ракеты на подвижные оси;

– проекции вектора угловой скорости подвижных осей относительно неподвижных осей на подвижные оси;

– суммы проекций внешних сил, действующих на ракету, на подвижные оси.

Второе уравнение вращательного движения запишем в форме Эйлера, приняв за подвижные оси координат главные центральные оси инерции ракеты. Положим, что направление этих осей относительно корпуса ракеты не зависит от расхода топлива и остается неизменным.

Имеем

(170)

Здесь – главные центральные моменты инерции ракеты;

– проекции вектора угловой скорости подвижных осей относительно неподвижных на главные центральные оси инерции;

– суммы проекций моментов внешних сил на главные центральные оси инерции.

Программный полет ракеты предусматривает движение в вертикальной плоскости , с которой совпадает вертикальная плоскость симметрии ракеты . Таким образом, в программном движении обычно .

Движение ракеты в вертикальной плоскости будем называть продольным движением, или движением в плоскости тангажа.

Наличие плоскости симметрии ракеты дает возможность разделить общее движение по уравнениям (169) и (170) на продольное, движение в плоскости рыскания и вращение относительно продольной оси.

Если кинематические параметры движения в плоскости рыскания и отклонения органов управления этим движением полагать малым, а траекторию полета – мало отличающейся от плоской, то продольное движение практически не будет зависеть от движения в плоскости рыскания. Однако, как уже говорилось, исследования движения рыскания и крена можно провести лишь после того, как будут определены параметры продольного движения.

Фиг.70

Пусть стабилизация ракеты осуществляется раздельно по тангажу, рысканию и крену. Тогда уравнения, описывающие работу Системы Управления в плоскости тангажа, рыскания и крена, будут независимыми. В этом случае уравнения движения управляемой ракеты в плоскости тангажа можно получить и проанализировать независимо от уравнений движения в плоскости рыскания.

На фиг.70 показаны силы, действующие на ракету. Запишем уравнения движения ракеты в вертикальной плоскости в скоростной системе координат.

Полагая, что в (169) и (170)

получим:

;

; (171)

.

Здесь X_B,Y_B,M_B – возмущающие силы и момент;

G – вес ракеты.

Для обеспечения управления и устойчивости движения в системе стабилизации ракеты используются сигналы от чувствительных элементов, пропорциональные ускорениям в направлении продольной и поперечной осей ракеты. Эти сигналы определяются непосредственно из уравнений движения в связанной системе координат.

Проекции скорости на оси Ox₁ и Oy₁ связанной системы координат будут(см. Фиг.70):

,

.

Для связанной системы координат в уравнениях (169) и (170) нужно принять, что

Тогда получим:

,

,

, (172)

,

.

Здесь , , – некоторые возмущающие силы и момент, которые будем считать заданными.

Чтобы найти решение уравнений (171) и (172), нужно знать закон изменения во времени управляющих сил . Закон задается системой управления и структуры системы управления. Уравнение системы управления можно представить в виде (в самом общем):

(173)

Уравнения (171) и (172) получены в предположении, что стартовая система координат инерциальная. Вращение стартовой системы координат вместе с Землей приводит к необходимости учитывать переносное и кориолисово ускорения ракеты.

Если считать закон изменения во времени угла поворота управляющих органов заданным, то из уравнений (171) для любого момента времени можно определить скорость V и угол , а из равенств

,

вычислить координаты центра масс в системе координат , т.е. траекторию ракеты. Однако уравнения (171) являются нелинейными уравнениями с переменными коэффициентами, поэтому их решение сопряжено с большими трудностями.

При практических расчетах траекторию полета и параметров невозмущенного движения уравнения (171) подвергают значительному упрощению. Так как программное движение ракеты совершается с незначительными угловыми скоростями и ускорениями, то можно положить, что угловая скорость и ускорение в программном движении .

В этом случае третье уравнение (171) будет представлять собой уравнение равновесия между аэродинамическим моментом и моментом от управляющих сил, называемое балансировочным уравнением

,

где – расстояние от вершины ракеты до точки приложения управляющей силы.

Из этого уравнения можно определить программный угол поворота , который необходим для поддержания требуемого программного угла атаки . При расчетах траектории и параметров невозмущенного движения систему управления считают идеальной, то есть закон изменения углов поворота управляющих органов считается совпадающим с программным.

Если форма траектории, т.е. зависимость угла наклона касательной от времени полета, известна заранее, то второе уравнение (171) может служить при определении потребного угла атаки для обеспечения заданной траектории

.

Так как угол атаки баллистических ракет в полете обычно мал, то в первом приближении им можно пренебречь и рассчитывать траекторию при =0. Поэтому наиболее простые уравнения для расчета скорости V, ускорения и траектории будут иметь вид:

,

,

.

В этом случае ошибка, с которой определяется ускорение , меньше на 10 – 20%, чем ошибка от неточного значения коэффициента С_x.

Фиг.71

Если расчет траектории производится на дальность более 50 км, то необходимо учитывать кривизну поверхности Земли. Связь между координатами x₀,y₀, хордой L дуги окружности Земли и местной высотой H можно определить из следующих геометрических соотношений(см. Фиг.71):

.

Кроме того, для более точного определения полной дальности полета необходимо учитывать ускорение кориолиса.

Для баллистических ракет дальнего действия, большая часть траекторий которых проходит за пределами атмосферы, т.е. действуют в основном силы центрального поля тяготения, можно непосредственно применить рассмотренные в разделе 12.2 соотношения свободного полета к расчету параметров траектории.

На участке выведения расчет траектории ведется численным интегрированием уравнений движения. Затем, пересчитывая параметры конца участка выведения _к, r_к, _к на начальные условия _А, r_А, _А свободного полета, можно продолжить траекторию дугой эллипса. В конце участка свободного полета (уже в атмосфере) необходимо снова обращаться к численному интегрированию, т.к. на участке спуска в атмосфере головная часть (ГЧ) испытывает воздействие скоростного напора значительно большего, чем испытывала ракета на участке выведения. При входе в атмосферу значительно меняется скорость, но вид траектории мало отличается от эллиптической, конечно, если ГЧ не снабжена системой самонаведения.

Фиг.72

Упрощенная схема траектории баллистических ракет дальнего действия к определению дальности.

На фиг.72 показана траектория баллистических ракет. Первый начальный участок выведения полета уже рассмотрен, и положение ракеты в начале эллиптического участка можно считать заданным. Дальность от точки старта A^' до точки выключения двигательной установки обозначим l₁ .

Далее движение продолжается по дуге эллипса, симметричной относительно оси ОВ, и от точки А до точки С, расположенных на одинаковой высоте Н_А или одинаковом радиусе r_A , получим дальность по дуге большого круга (ортодромную), которая равна 2R_ ,где _ - угол, соответствующий вершине траектории или точке апогея.

Остается отрезок дальности l₂ от точки С до точки С^', т.к. траектория свободного полета симметрична относительно большой оси эллипса, следовательно, угол  в точке С равен углу _A, поэтому приближенно можно принять

Для ориентировочных расчетов такая оценка дальности заключительного участка траектории не приводит к заметным погрешностям, т.к. l₂ относительно невелика.

Таким образом, полная дальность равна

(174).

Определим основное слагаемое 2R_. Для этого вернемся к уравнению (163):

При  = _ получаем радиус апогея

Следовательно, _ – C₁ = .

При  = 0 радиус r принимает значение r_A , т.е.

Откуда:

Вместо , удобно ввести tg_ :

Тогда, исключая Р и е (165), получим:

(175)

Полученное из (175) значение угла надо подставить в (174) и определить дальность.

Основное слагаемое дальности и, соответственно , имеет максимум при

(176)

Уравнение (176) означает, что при заданной скорости в конце активного участка, которая определяется энергетическими и весовыми параметрами ракеты, максимальная дальность будет, если угол наклона траектории к местному горизонту в момент отключения двигательной установки соответствует найденному углу .

При пусках на малые дальности, т.е. при малой скорости , т.е. максимальная дальность достигается при угле бросания .С увеличением скорости угол уменьшается и при дальности составляет .

Выражение (176) для оптимального угла является приближенным. Оптимизация не учитывает последнее слагаемое в (174), а оно с уменьшением увеличивается. Поэтому, действительный максимум дальности смещается в сторону уменьшения угла .

Без громоздких выкладок приведем уточненное выражение для :

(177)

При (177) переходит в (176)