§ 18. Поняття про статично невизначені системи при розтязі та стискові

Визначення деформацій бруса при розтязі та стискові дає можливість встановити, як змінюються форми та розміри частин конструкцій в результаті дії зовнішніх сил. Звичайно ці зміни форми настільки незначні, що здавалося б утрачають практичне значення.

Однак є цілий ряд конструкцій, для яких розрахунки на міцність неможливі без вміння визначати деформації.

У всіх прикладах, які ми розглядали до цих пір, зусилля розтягу або стиску визначались із умови рівноваги твердого тіла. Такі задачі називають статично визначеними.

На практиці при визначенні зусиль в елементах конструкцій іноді буває недостатньо рівнянь статики, так як число невідомих зусиль виявляється більшим числа незалежних рівнянь статики.

Задачі, для розв’язку яких недостатньо рівнянь статики, називаються статично невизначеними.

Статично невизначені задачі розв’язуються добавлянням до рівнянь рівноваги рівнянь, яких не вистачає, отриманих на основі деформацій системи. Рівняння деформацій відрізняються від рівнянь рівноваги. В них входять, крім зусиль і геометричних розмірів, ще і величини, що характеризують пружні властивості матеріалу, тобто модуль пружності матеріалу.

Так як передбачається, що матеріал будь-якого елемента конструкції пружний, тобто він поводить себе відповідно до закону Гука, завжди можна скласти рівняння яких не вистачає. Так як характер таких задач досить різноманітний і для їх розв’язку не можна дати конкретних вказівок, придатних для кожного окремого випадку, покажемо на прикладах загальний метод розв'язку деяких статично невизначених задач.

В основному цей метод заключається в наступному:

а) з’ясовують характер зусиль, які визначаються;

б) складають можливі для даного випадку рівняння статики;

в) складають недостатні рівняння переміщень з таким роз­рахунком, щоб загальна кількість рівнянь дорівнювала числу неві­домих зусиль, що визначаються.

Приклад 11. Балка, яку можна вважати абсолютно жорсткою, має шарнірно нерухому опору та підтримується двома стальними стержнями однакового поперечного перерізу (рис. 23, а).

Визначити із розрахунку на міцність площі поперечних перерізів стальних стержнів, якщо допустима напруга для сталі []=160 МПа, F=50 кН.

Рис. 23

Розв’язок. Об’єктом рівноваги є балка АД. Зв’язками для неї є шарнірно нерухома опора та стержні 1 і 2. Звільняємося від зв’язків (рис 23, б). Від вертикального навантаження в опорі А виникає тільки вертикальна реакція V_А. Складаємо рівняння рівноваги. Статика дає два рівняння рівноваги, а невідомих 3. Задача один раз статично невизначена.

1. М_А=0. –N₁·3à+F·5à-N₂·7à=0

2. У_і=0. V_A+N₁-F+N₂=0

Так як балка вважається абсолютно жорсткою, то при деформації стержнів вона залишається прямолінійною і лише повернеться навколо шарніру А, як показано штриховою лінією на рис. 23, б.

Із подібності трикутників АВВ₁ та АДД₁, в яких сторони ВВ₁ та ДД₁ являють собою видовження стержнів, тобто

ВВ₁=l₁, ДД₁=l₂

маємо

або скоротивши на а, отримаємо

7l₁=3l₂.

Це і є рівняння деформацій для нашої задачі. Виразивши видовження стержнів за формулою Гука (5), отримаємо

,

звідки

14N₁=9N₂ або N₁= N₂=0,643 N₂

Підставивши це відношення в рівняння 1, отримаємо

0,643N₂·3а + F5a - N₂·7a = 0,

звідки знаходимо

N₂=49,30 кН

тоді

N₁= 0,643₂ 31,69 кН

Як бачимо, більше зусилля виникає в стержні 2, а за умовою задачі площі поперечних перерізів стержнів однакові, тому потрібну величину площі знайдемо за умовою міцності стержня 2:

,

звідси

.

При цьому стержень 1 буде недовантаженим, напруги в його перерізах будуть нижчими за допустимі.

.

Але зменшувати площу його перерізу не можна, бо якщо площі А₁ і А₂ будуть неоднаковими, то зусилля N₁ i N₂ будуть іншими, тобто весь розрахунок, пов’язаний з визначенням зусиль, втратить зміст.