§37 Застосування теореми д.І.Журавського та правила побудови і перевірки епюр поперечних сил та згинальних моментів

Виведені в §35 залежності між згинальним моментом М, поперечною силою Q та інтенсивністью розподіленого навантаження q можна використати при побудові епюр Q і M та при перевірці правильності побудови епюр.

Щоб краще зрозуміти, як використовувати ці залежності, згадаємо з вищої математики, що геометричним значенням похідної функції є тангенс кута нахилу дотичної в даній точці кривої до абсцис. Тобто можна записати:

; (80)

; (80´)

На основі цих формул інтенсивність навантаження q можна прийняти за тангенс кута нахилу дотичної до лінії, що окреслює епюру Q, а величину поперечної сили Q – за тангенс кута нахилу дотичної до лінії, що окреслює епюру М.

Звернемося до рис. 66–68 та розглянемо ті ділянки балок, що не навантажені розподіленим навантаженням, тобто де q = 0.

Згідно з формулою (80) тангенс кута нахилу прямих, що окреслюють епюру Q, дорівнює нулю, тобто ці прямі горизонтальні і, отже ординати епюри Q в межах кожної ділянки між зосередженими силами однакові.

Однаковим ординатам опори Q, як це випливає із формули (80'), в межах кожної ділянки повинні відповідати похилі прямі на епюрі М з одним і тим же тангенсом кута нахилу, що ми і бачимо на побудованих епюрах .

В перерізах, де ординати епюри Q на суміжних ділянках розрізняються між собою, тобто утворюють стрибки, будуть відповідні зміни кутів нахилу, які виражаються зламом прямих або кривих ліній, що окреслюють епюру М.

Із формули (80) виходить, що згинальний момент буде мати найбільші значення в перерізі, де , тобто де поперечна сила дорівнює нулю або змінює знак на протилежний (переходить через вісь абсцис)

Теорема Журавського дає можливість за відомим навантажен­ням та знайденими опорними реакціями, не проводячи обчислень, визначити характер епюр, тобто показати на ділянках балки лінії, що окреслюють епюри Q і М .

На основі теореми Д.І. Журавського, та на основі прикладів (рис. 66–68) можна вивести правила, що дають можливість перевіряти правильність окреслення епюр Q і М .

1. На ділянці де немає розподіленого навантаження, епюра Q обмежена прямою лінією, паралельною осі абсцис, а епюра М –похилою прямою (при Q  0) (рис. 66).

2. На ділянці, де є розподілене навантаження, епюра Q обме­же­на похилою прямою, а епюра М – квадратною параболою (рис. 67) випуклістю в сторону дії навантаження.

3. В точці, де прикладена зосереджена сила, епюра Q робить стрибок на величину сили, причому її нахил до осі абсцис не змінюється, а епюра М – злам, вістря якого направлене в сторону дії сили (рис. 66).

4. В точці, де прикладений зосереджений момент, епюра Q – без змін, епюра М робить стрибок на величину моменту, причому її нахил до осі абсцис не змінюється (рис. 68).

5. Якщо на ділянці згинальний момент зростає, то епюра Q на цій ділянці додатна (рис. 66, 67).

6. Якщо на ділянці епюра Q перетинає вісь абсцис, то епюра М в цьому місці має екстремальне значення (рис. 67).

Приклад 21. Побудувати епюри Q і М для простої балки (рис. 69).

Розв’язок. Знаходимо опорні реакції . Від вертикального навантаження виникають тільки вертикальні реакції V_А і V_В .

Складемо рівняння рівноваги .

;

;

Із 1 знаходимо

Із 2 знаходимо

Перевірка:

Будуємо епюри Q і М за характерними точками. Для цього послідовно робимо переріз зліва та справа від характерних точок, тобто на початку і в кінці кожної ділянки .

За отриманими значеннями будуємо епюру Q (рис. 69)

Рис. 69

Будуємо епюру М. При побудові епюри М переріз в характерній точці робимо з однієї сторони, так як значення згинальних моментів лівіше та правіше точки однакові, крім точок де прикладений зосереджений момент .

Для точнішої побудови епюри М на ділянці ВЕ знайдемо згинальний момент посередині ділянки :

За отриманими значеннями будуємо епюру М (рис. 69)

Для швидкого контролю правильності побудови епюри згинальних моментів зручно використати зворотну теорему Журавського, суть якої в наступному.

Подавши вираз у вигляді dM=Q·dz та проінтегрувавши получений вираз в межах від 0 до z, маємо

тобто згинальний момент в перерізі z дорівнює інтегралу поперечної сили, взятому в межах від початку координат до цього перерізу

З вищої математики відомо, що визначений інтеграл f(z)dz може бути зрозумілим як площа фігури, що обмежена лінією y=f(z) (в нашому випадку – лінією, що окреслює епюру Q), віссю абсцис та двома ординатами, що відповідають абсцисам z=a і z=b .

Отже, якщо підрахувати площу епюри Q по одну сторону перерізу балки, то отримаємо величину згинального моменту в цьому перерізі . В тому випадку, коли на ділянці балки, що розглядається, прикладена зосереджена пара сил (момент), величину цього моменту потрібно алгебраїчно додати до площі ділянки епюри Q.

Якщо епюра Q має додатні та відємні ділянки, то для отримання величини згинального моменту в перерізі потрібно взяти алгебраїчну суму площ ділянок епюри Q по одну сторону від перерізу. Отриманий в результаті цього знак суми площ епюри Q буде знаком згинального моменту в даному перерізі балки. Якщо додавати площі ділянок епюри Q правіше від перерізу, то отриманий в результаті обчислень знак потрібно змінити на протилежний.

Застосуємо цей спосіб до розглянутого прикладу 21(рис. 69).

Визначимо згинальний момент як площі ділянок епюри Q;

М_А = площі епюри Q на ділянці с-а; кНм;

М_Д = площі епюри Q на ділянці с-d; кНм;

М_Е = площі епюри Q на ділянці b-e (трапеція ее₁b₁b) кНм

М_В = площі всієї епюри Q = -16 + 45,2 + 30,4 - 59,4 = 0.

Як бачимо, результати знаходження згинальних моментів за цим способом повністю відповідають результатам, що отримані як суми моментів сил, що діють по одну сторону від перерізу.

Викладений спосіб дуже зручний та потребує мінімум часу при знаходженні максимального згинального моменту в перерізах балки. Для цього достатньо знайти алгебраїчну суму площ ділянок епюри Q по одну сторону від перерізу, в якому поперечна сила змінює знак. В нашому прикладі М_max виражається площею ділянки епюри Q правіше від точки е, тобто площею трапеції ее₁b₁b (рис. 69):

М_мах= кН·м

Те ж саме можна отримати, взявши площу епюри Q лівіше від точки е:

М_max = кНм

Приклад 22. Побудувати епюри Q і М для балки, що зображена на рис. 70, а.

Розв’язок. Балка має одну опору - жорстку. Так як внутрішні сили знаходяться від дії зовнішніх сил, що знаходяться по одну сторону від перерізу, то реакції опор можна не знаходити. Але при цьому відкидати потрібно ту частину балки, в якій знаходиться опора.

Рис. 70

Будуємо епюру Q. Робимо переріз в точці А, відкидаємо праву частину балки разом з опорою.

Q_A = 0.

Робимо переріз в точці С лівіше, знову відкидаємо праву частину балки.

Q_С ^лів = -q·1= –3·1= –3 кН.

Робимо переріз в точці С правіше:

Q_С ^пр = –q·1-F = – 3·1-6 = – 9 кН.

Робимо переріз в точці В та знову відкидаємо праву частину разом з опорою.

Q_В = -q1 - F = -31 - 6 = -9 кН.

За отриманими значеннями будуємо епюру Q (рис. 70, б).

Будуємо епюру М. Робимо переріз в точці А та відкидаємо праву частину балки:

М_А = 0.

Робимо переріз в точці С, знову відкидаємо праву частину балки.

М_С = -q10,5 = -310,5 = - 1,5 кНм.

Робимо переріз в точці В та знову відкидаємо праву частину, тобто опору.

М_В = -q11,5 - F1 = -311,5 - 61 = -4,5 - 6 = -10,5 кНм.

За знайденими значеннями будуємо епюру М. Так як епюра Q на ділянці АС не перетинає вісь абсцис, це значить, що епюра М на цій ділянці не має екстремального значення, тому епюра на цій ділянці окреслена параболою випуклістю вниз, ординати якої не виходять за межі значень 0 - 1,5 кНм (рис 70, с). В точці С епюра робить злам, так як тут прикладена зосереджена сила F.