§39. Дотичні напруги при згині

На відміну від чистого згину при поперечному згині в перерізах бруса виникають не тільки згинальні моменти, але й поперечні сили. Тому в поперечних перерізах поряд з нормальними напругами виникають і дотичні напруги.

За законом парності дотичних напруг, дія їх по якій-небудь площадці викликає рівні за величиною, але протилежні за знаком дотичні напруги по площадці, перпендикулярній до першої. Тобто по площадках, паралельних нейтральному шару, повинні діяти дотичні напруги, що повністю підтверджується дослідами.

Рис. 77

Розглянемо, наприклад, балку, що складена із двох однакових брусів прямокутного перерізу (рис. 77, а), причому припустимо, що тертя між ними відсутнє. Нехай ця балка згинається під дією зосередженої сили F, що прикладена до середини прольоту. Після деформації балка прийме вигляд згідно рис. 77, б, тобто кожен брус зігнеться незалежно один від одного. Тобто нижні волокна кожного бруса будуть розтягуватися, а верхні – стискатися. По площині їх стикання вони будуть ковзатися один по одному, а їх кінцеві перерізи, що лежали до деформації в одній площині, розійдуться.

Суцільна балка під дією сили зігнеться так, як показано на рис. 77, в. При цьому волокна АВ будуть лежати в нейтральному шарові і їх довжина залишиться без змін. Значить, при згині суцільної балки по нейтральному шару діють дотичні напруги, що не допускають зсуву верхньої половини балки відносно нижньої.

Дію поздовжніх дотичних напруг при згині було вперше правильно оцінено Д.І. Журавським, який також вперше розробив і теорію дотичних напруг при згині балок прямокутного перерізу. Ним також зроблені основні припущення при вивченні цієї теорії:

а) дотичні напруги в кожній точці поперечного перерізу направлені паралельно поперечній силі Q;

б) дотичні напруги розподіляються рівномірно по ширині поперечного перерізу балки.

Вказані припущення прийняті в опорі матеріалів для спрощення виведення формули визначення величини дотичних напруг і закону їх розподілу по висоті перерізу балки.

Для балок прямокутного перерізу, коли їх висота більше ширини, вказані припущення дуже близькі до дійсності.

Виріжемо із балки прямокутного перерізу (рис. 78) двома нескінченно близькими суміжними поперечними перерізами елемент довжиною dz і проведемо переріз bc, паралельний нейтральному шарові.

Рис. 78

Нормальна напруга в перерізі z у волокні, що лежить на відстані у від нейтрального шару,

;

а нормальна напруга в тому ж волокні в перерізі z + dz

.

По перерізах ab i cd діють ще дотичні напруги , а по площині bc згідно із законом парності дотичних напруг будуть діяти поздовжні дотичні напруги .

Нормальне зусилля в перерізі z, що діє на елементарну площадку dА, що відповідає волокну на відстані у від нейтральної осі,

.

Повне зусилля, що діє по площі відсіченої частини abb₁a₁, виразиться сумою елементарних сил, що прикладені до цієї площі, тобто

,

але так як інтеграл – це статичний момент відсіченої площі abb₁a₁ відносно нейтральної осі, то можна записати, що

.

Так само знайдемо величину повного зусилля N₂, що діє на виділений елемент справа (по перерізу z + dz):

.

Дію відкинутої нижньої частини замінимо силами. Так як поздовжні волокна не натискують одне на одне, то по нижній грані елемента необхідно прикласти тільки дотичні напруги , вважати їх рівномірно розподіленими по ширині балки. Величина повної зсуваючої сили по нижній грані відсіченоі частини дорівнює добутку напруги на площу розрізу, тобто зсуваюча сила буде дорівнювати bdz i направлена в сторону більшого згинального момента.

Розглянемо умову рівноваги виділеного елемента, для чого спроектуємо всі сили, що діють на ньго, на вісь z:

; ,

або

або

,

або

,

звідки

,

а так як згідно із (77) , то

(88)

де  – дотична напруга на площадці, паралельній нейтральному шарові;

Q – поперечна сила в перерізі, що розглядається;

І_х – осьовий момент інерції відносно нейтральної осі всього поперечного перерізу балки;

– статичний момент відносно нейтральної осі тієї частини поперечного перерізу, що лежить вище або нижче площадки, що розглядається;

b – ширина перерізу на рівні площадки, по якій визначаються дотичні напруги.

Так як різниця сил (N₂ –N₁) та bdz утворюють пару, що прагне обертати елемент проти годинникової стрілки, то для повної рівноваги необхідно по бокових його гранях прикласти рівні за модулем і протилежні за напрямком дотичні сили Т.

Формула (88) називається формулою Д.І. Журавського для визначення дотичних напруг при згині.

Хоча ця формула виведена для визначення дотичних напруг по площадках, паралельних нейтральному шарові, але в силу закону парності дотичних напруг нею можна користуватися і для визначення їх у відповідних точках поперечного перерізу.