Питання для самоконтролю

1. Що називається деформацією зсуву?

2. Які внутрішні сили виникають при зсуві?

3. Які напруги виникають при зсуві?

4. Що називається деформацією зминання?

5. Які напруги виникають при зминанні?

6. Які бувають типи зварних з’єднань?

7. Яка різниця між однозрізною та двозрізною заклепками?

8. Які деформації виникають в сполученнях дерев’яних елемен­тів конструкцій?

Розділ V. Геометричні характеристики плоских перерізів

§ 29. Осьовий, полярний та відцентровий моменти інерції

Вивчаючи розтяг, стиск та зсув, ми помітили, що міцність елементів конструкцій для якогось матеріалу залежить від площі поперечного перерізу. Тобто площа перерізу повністю визначає ступінь опору елемента конструкції деформації. При вивченні згину та кручення за цією величиною не можна робити висновок про ступінь опору матеріалу згину або крученню, так як одна і та ж балка залежно від положення осей поперечного перерізу до напрямку дії сил буде працювати, наприклад, на згин, по різному.

Рис. 48.

На рис. 48 зображена балка прямокутного перерізу, причому одна сторона її перерізу значно більша ніж інша. На рис. 48, а балка лежить на опорах меншою стороною, а на рис. 48, б – більшою стороною. Очевидно, що в першому положенні балка виявиться більш міцною та жорсткою, тобто витримає більше навантаження і менше прогнеться, ніж у другому положенні.

Прийнято називати балку жорсткою, якщо вона мало прогинається від прикладеного навантаження на відміну від гнучкої, що прогинається на значну величину.

Із сказаного виходить, що жорсткість балки характеризує її здат­ність чинити опір деформації. Такою геометричною характеристикою при згині балок в опорі матеріалів є момент інерції площі перерізу відносно осі, що позначається латинською буквою І. Як побачимо далі, момент інерції перерізу розглянутої вище балки відносно осі х для першого положення (рис. 48, а) буде значно більшим (іноді в декілька раз), ніж для другого положення.

Перш ніж перейти до визначення поняття моменту інерції, згадаємо із теоретичної механіки ще про одну геометричну характеристику поперечного перерізу – статичний момент площі плоского перерізу відносно осі.

Статичним моментом плоского перерізу відносно будь-якої осі, що лежить з ним в одній площині (рис. 49), називається сума добутків елементарних площадок dА всього перерізу на відстань їх до цієї осі, тобто

та ,

де А під інтегралом означає, що інтегрування розповсюджується на всю площу перерізу.

Рис. 49

Застосовуючи теорему про момент рівнодіючої, можна написати: і ,

де А – площа всього перерізу: та – координати центра ваги перерізу.

Звідси отримаємо формули для знаходження координат центра ваги перерізу:

і

Статичний момент може мати як додатні так і від'ємні значення залежно від знаку координат, тобто від розміщення осей, відносно яких він знаходиться.

Якщо вісь, відносно якої визначається статичний момент, проходить через центр ваги перерізу, тобто х_с=0 або у_с=0, то статичний момент відносно цієї осі дорівнює нулю.

Якщо переріз має вісь симетрії, то ця вісь завжди проходить через центр ваги. Тому статичний момент будь-якого перерізу відносно його осі симетрії завжди дорівнює нулю.

Осьовим (екваторіальним) моментом інерції плоского перерізу відносно осі називається сума добутків елементарних площадок dА на квадрати їх відстаней до цієї осі (рис. 49).

(60)

(61)

В цих формулах індекси х та у позначають вісь, відносно якої визначаються моменти інерції.

Полярним моментом інерції перерізу Ір відносно якоїсь точки (полюса), що лежить в площині перерізу, називається сума добутків елементарних площадок dА на квадрати їх відстаней р до полюса (рис. 49), тобто

(62)

Із рис. 33 видно, що , тоді

або

, (63)

тобто полярний момент інерції відносно якоїсь точки (полюса) дорівнює сумі осьових моментів інерції відносно двох будь-яких взаємно перпендикулярних осей, що проходять через цей полюс.

Як видно із означення осьові та полярний моменти інерції завжди додатні і не можуть дорівнювати нулю. При повертанні осей відносно початку координат на будь-який кут сума осьових моментів інерції залишається сталою і дорівнює полярному моменту інерції.

Відцентровим моментом інерції плоского перерізу відносно осей х та у називається сума добутків елементарних площадок dА на їх координати х та у.

(64)

Відцентровий момент інерції може приймати як додатні, так і від'ємні значення, а значить і дорівнювати нулю.

Всі моменти інерції мають однакову одиницю виміру – м⁴, см⁴, мм⁴.

Чому моменти інерції є геометричними характеристиками перерізу і як вони впливають на ступінь опору елемента конструкції деформації ми побачимо нижче, коли розглянемо внутрішні сили при згині та крученні.