§42. Напружений стан при поперечному згині. Головні площадки та головні напруги.

Перевірку балки на міцність можна здійснити за формулами (90) і (93), тобто по нормальним і дотичним напругам. Давайте вияснимо, міцність яких елементів ми перевіряємо за цими формулами.

На рис. 83 показана частина фасаду балки в тому місці, де розміщені перерізи з найбільшим згинальним моментом та найбільшою поперечною силою.

Рис. 83.

В перерізі з найбільшим згинальним моментом M_max в елементах, найбільш віддалених від нейтрального шару, виникають найбільші нормальні напруги _max, а дотичні напруги дорівнюють нулю. Ці елементи працюють на розтяг та стиск. В елементі, що розміщений в нейтральному шарові, виникають найбільші дотичні напруги _max в перерізі, де виникає найбільша поперечна сила Q_max. Цей елемент знаходиться в стані чистого зсуву.

Таким чином, проводячи перевірку міцності по найбільшим нормальним та дотичним напругах, ми в дійсності перевіряємо міцність матеріала балки лише в трьох показаних на рис. 83 елементах.

Немає ніякої впевненості в тому, що ці три елемента знаходяться в найбільш небезпечному стані.

В елементі, що знаходиться в довільному перерізі на відстані у від нейтрального шару виникають нормальні та дотичні напруги (рис. 83). Нормальні напруги  діють по граням, перпендикулярним до осі балки, а дотичні напруги  - по всім чотирьом боковим граням. Фасадні грані елемента будуть вільні від напруг. Таким чином, ми маємо справу з плоским напруженим станом. Знайдемо головні напруги. Вони будуть виникати в похилих перерізах, в яких відсутні дотичні напруги. Для визначення головних напруг із балки виділимо елемент у вигляді трикутної призми із основою АВС і висотою, що дорівнює ширині балки (рис. 83). Замінимо дію відкинутих частин балки внутрішніми силами.

Представимо виділений елемент в більшому масштабі (рис. 84,а). На гранях призми будуть діяти: по АВ - нормальні напруги  і дотичні ; по грані АС - тількі дотичні напруги , що дорівнюють дотичним напругам по грані АВ (згідно закону парності дотичних напруг). Нормальні напруги по грані АС дорівнюють нулю, так як при згині балки поздовжні волокна не тиснуть одне на одне. По похилій грані ВС діють нормальні напруги  і дотичні . Напруги  і  відомі, а напруги  і  невідомі і їх потрібно знайти.

Рис. 84.

Якщо позначити dA - площу грані ВС, а  - кут її нахилу, то площа грані АВ буде dAsin, а площа грані АС - dAcos. Напрям всіх напруг, показаних на рис. 84,а, приймаємо за додатній, а кут  будемо рахувати від горизонтальної осі за годинниковою стрілкою. Сили, що замінюють дію відкинутих частин балки на грані призми,показані на рис. 84,б.

При поступовому повертанні похилої площадки напруги на ній будуть змінюватися, причому якщо  буде зростати, то  буде зменшуватися, це значить, що може настати момент, при якому  будуть дорівнювати нулю, а  досчягне найбільшого значення.

При такому положенні похила площадка ВС буде головною площадкою, а нормальні напруги на ній  будуть головними напругами. При цьому для любої точки балки можуть бути знайдені дві взаємно перпендикулярні площадки, які будуть головними, і на одній із них буде діяти найбільша додатня головна напруга, на другій - найбільша відємна головна напруга.

Визначимо величину гловної напруги. Уявимо, що кут нахилу головної площадки  вже знайдено. Тобто на грані ВС будуть діяти тільки головні напруги, рівнодіюча яких дорівнює '·dA. По грані АВ рівнодіюча нормальних напруг дорівнює dAsin, а рівнодіюча дотичних напруг - dAsin. По грані АС діють тільки дотичні напруги, рівнодіюча яких дорівнює dAcos (рис. 84, в).

Складемо рівняння рівноваги призми.

1. Z_i = 0; dAsin - dAsin + dAcos = 0.

2. Y_i = 0; dAcos +dAsin = 0.

Зробивши перетворення, отримаємо:

1. ( - )sin = -cos;

2. cos = -sin

перемноживши ліві та праві частини цих рівнянь та зробивши скорочення, отримаємо:

(-) = ²,

або

 ² -  - ² = 0.

Розвязуючи отримане квадратне рівняння відносно , знайдемо величини головних напруг:

 ; (94)

Розділимо рівняння рівноваги Y_i = 0 на cos:

Скоротивши на dA, маємо:

+tg = 0,

звідки

tg =  . (95)

За формулою (95) знаходять кут нахилу головної площадки в перерізі бруса.

Найбільші дотичні напруги _max будуть діяти під кутом 45 до головних площадок. Їх величину можна знайти за допомогою третьої теорії міцності (див. § 25). Прийнявши ₁ = _max і ₃ = _min, то отримаємо

;

аналогічно

,

або остаточно

(96)

При визначенні _max, _min за формулами (94)-(96) числові значення величин  і  потрібно підставляти у формули з урахуванням їх знаків: нормальні напруги розтягу брати зі знаком плюс, а знак дотичних напруг повинен відповідати знаку поперечної сили в даному перерізі.

Щоб знайти переріз по довжині балки, в якому діють найбільші головні напруги, потрібно співставити епюри Q i М. Той переріз, в якому одночасово діють більші, ніж в інших перерізах, поперечна сила і згинальний момент, і буде небезпечним перерізом по головним напругам.

Такими перерізами по довжині балки можуть бути, наприклад, перерізи над опорами консольних балок, в місці кріплення консолі та інш. Взагалі перерізи з M_max i Q_max не співпадають. Тому часто виникає необхідність перевіряти головні напруги в декількох перерізах, вибираючи їх таким чином, щоб значення M i Q були відносно великими.

Що стосується зміни нормальних та дотичних напруг по висоті перерізу балки,потрібно сказати слідуюче. В балках прямокутного перерізу не буде таких точок, в яких діяли б одночасово великі нормальні та дотичні напруги, а в балках двотаврового перерізу і взагалі в тих випадках, коли в перерізі різко змінюється ширина, такі точки будуть. Щоб знайти у вибраному перерізі точки, найбільш небезпечні по головним напругам, необхідно співставити епюри  і . Точки перерізу, які відповідають більшим ординатам  і , і будуть небезпечними по головним напругам.

В результаті перевірки головних напруг в перерізах балки величина їх не повинна перевищувати допустимих нормальних напруг, тобто:

.

Відносно напряму головних напруг потрібно сказати, що для балок, виготовлених із матеріалів, однаково працюючих на розтяг та стиск, це питання не має суттєвого значення, і при перевірці по головним напругам достатньо обмежитися обчисленням значень _max i _min.

Що стосується балок, виготовлених із матеріалів, по різному працюючих на розтяг та стиск, як, наприклад, із залізобетону, то дуже важливо знати напрям розтягуючих напруг в кожній точці, щоб по цих напрямках поставити стержні арматури. На рис. 85 показані приблизні криві напрямку головних напруг в балці, що називаються траєкторіями головних напруг. Напрям траєкторій залежить від виду навантаження та від умови спирання балки. Через кожну точку балки можна провести дві траєкторії головних напруг - розтягуючих та стискуючих.

Рис. 85

Для балки, показаній на рис. 85, траєкторії стискуючих напруг проведені пунктиром, а розтягуючих - суцільними лініями.

Траєкторії головних напруг в стінці стальної двотаврової балки вперше були побудовані Д. І. Журавським. Він вперше пояснив причину випучування стінки двотавра при втраті її стійкості як результат дії головних стискуючих напруг.

Перевірка міцності складених балок по головним напругам вперше була введена в практику проф. М. А. Белелюбським в 1870 р. при розрахунку клепаних мостових балок. Останнім часом вона замінена перевіркою так званої приведеної (або еквівалентної) напруги за формулою

_пр = _екв= . (97)

Ця формула отримана із формули (42), що виражає умову міцності для плоского напруженого стану за енергетичною теорією міцності, якщо в цю формулу підставити значення головних напруг _max i _min (або відповідно ₁ і ₃), що визначені за формулою (94).