§41 Розрахунки на міцність при згині.

Як ми встановили раніше, в поперечних перерізах балки при поперечному згині виникає нормальна та дотична напруги. Але, як ми бачимо, з прикладу 23 дотична напруга дуже мала в порівнянні з нормальною напругою. Тому розрахунки на міцність при згині виконують за найбільшими нормальними напругами, за винятком випадків, на яких зупинимось нижче.

Умова міцності при згині по допустимим напругам на основі формули (84) виразиться нерівністю

. (90)

Отримана умова міцності виражає вимогу, щоб найбільші робочі напруги в поперечних перерізах балок не перевищували допустимої напруги для даного матеріалу.

Причому в формулу (90) підставляють найбільші (за абсолютною величиною) значення М_х.

Ми вже знаємо із розділу ІІ, що основна формула розрахунку на міцність по допустимим напругам дає можливість виконувати три види розрахунків:

а) перевірний, що заключається в визначенні найбільшої напруги в небезпечному перерізі та порівняння її з допустимою;

б) проектний, що заключається у визначенні необхідного моменту опору перерізу,

(91)

Для отримання необхідних розмірів поперечного перерізу балки потрібно задатися формою перерізу балки, а потім, застосовуючи відповідну їй формулу моменту опору, визначити розміри поперечного перерізу;

в) визначення найбільшого допустимого навантаження на балку.

Для вирішення цієї задачі знаходимо значення найбільшого допустимого згинального моменту за формулою (90):

, (92)

Приклад 24. За даними прикладу 23 підібрати переріз стальної двотаврової балки при допустимій напрузі [] = 160 МПа.

Розвязок.

кНм = 1950 кНсм.

Необхідний момент опору перерізу

де [] = 160 МПа = 16 кН/см²

За таблицями сортаменту підбираємо переріз двотавра № 18 з моментом опору W_x = 143 см³.

Приклад 25. Визначити допустиму величину сил F, прикладених до стальної швелерної балки, що згинається в площині найменьшої жорсткості (рис. 82), [] = 160 МПа.

Розвязок. Знаходимо реакції опор.

Так як навантаження симетрично прикладене до балки, то

.

Будуємо епюру згинальних моментів.

М_А= 0; М_С=V_A2 = F2 = 2F; М_Д = V_B2 = F2 = 2F; М_В = 0.

Знайдемо допустимий згинальний момент за формулою (92).

, де МПа = 16 кН/см².

Осьовий момент опору W_x приймається за таблицями сортаменту для швелера № 30 відносно його власної осі у, так як нейтральна вісь балки буде співпадати з цією віссю,

см³,

[М] = 1643,6 = 697,6 кНсм = 6,98 кНм.

Рис. 82

Максимальний згинальний момент в балці

М_max = 2F = [M] = 6,98 кМм,

тоді допустиме навантаження

кН.

При дуже великих навантаженнях на балку та у випадках, коли згинальний момент незначний, а поперечна сила велика (при великих зосереджених силах поблизу опор), дотичні напруги можуть бути великими. Таж саме може бути в перерізах клепаних та зварних балок, де товщина стінки меньша, ніж в прокатних. В цих випадках повинна бути зроблена перевірка міцності по дотичним напругам на основі формули (88).

. (93)

В деревяних балках в перерізах, направлених вздовж волокон, опір сколюванню значно гірший, ніж опір поперечному перерізанню волокон. В площині нейтрального шару виникають значні дотичні напруги, величина яких також повинна бути перевірена розрахунком.

Міцність балки при згині залежить від величини найбільшої нормальної напруги в поперечному перерізі,

.

Величина моменту опору перерізу знаходиться в знаменнику. Тобто, чим більша його величина, тим менша напруга, а значить, і міцніша балка. Найбільш раціональними, з точки зору економії матеріалу, будуть перерізи, в яких при меншій площі будуть більші моменти опору.

Економічність та раціональність прийнятого типу перерізу можна оцінювати за питомим осьовим моментом опору

.

Так, для прямокутного перерізу ; для круглого W_num = 0,141; для кільцевого W_num = 0,294; для прокатних профілів балок, наприклад, для двотавра № 10 (ГОСТ 8239-72) W_num = 0,96; для двотавра № 30 W_num = 1,49.

Таким чином, двотаврові балки в 5-6 разів економічніші за прямокутні балки і в 7-8 разів - за балки круглого перерізу.