38. Нормальні напруги при згині. Жорсткість перерізу бруса при згині

Раніше було встановлено, що при прямому згині в його перерізах виникає згинальний момент та, дуже часто, поперечна сила.

При вивченні напруженого стану балки ми спочатку розглянемо випадок чистого згину. Чистий згин, наприклад, виникає в середній частині балки, зображеної на рис. 71, а. Власною вагою балки нехтуємо. На ділянці СД поперечна сила Q відсутня, а згинальний момент постійний по довжині цієї ділянки.

Рис. 71

Тепер вияснимо, які напруги в перерізах бруса будуть відпові­дати внутрішнім силовим факторам.

Уявимо, що брус (балка) складається з незліченої кількості волокон, що паралельні осі бруса. Щоб мати уявлення про деформацію згину, поставимо два досліди:

1. Балку, що вільно лежить на двох опорах і має на верхній та нижній сторонах пази, в які вставлено точно підігнані за розміром пазів бруски, піддамо деформації згину (рис. 72). В результаті цього бруски, які містяться на верхній частині бруса, виявляться затисну­тими.

2. На бокову поверхню призматичного гумового (для більшої наочності) бруса прямокутного перерізу нанесемо сітку поздовжніх та поперечних прямих ліній і піддамо цей брус деформації чистого згину (рис. 73, а).

Рис. 72

Рис. 73

В результаті побачимо, що:

• поперечні прямі лінії в результаті деформації не викривля­ються, а залишаються прямими, але нахиляються на деякий кут одна відносно іншої. Поздовжні прямі лінії, а також вісь бруса викривля­ються (рис. 73, б).

• розміри перерізу бруса стануть ширшими у верхній частині та вужчими в нижній частині (рис. 73, в).

З описаних дослідів можна зробити висновок: верхні волокна бруса стискуються, а нижні розтягуються, при чому величина розтягу або стиску пропорційно зменшується у волокон, що ближче до осі бруса.

Між розтягнутими та стиснутими волокнами існує шар, де волокна не розтягуються і не стискуються, а тільки викривляються. Цей шар волокон називається нейтральним шаром (рис. 73, б).

Розтяг або стиск волокон може відбутися тільки силами, що діють вздовж цих волокон, тобто нормальними до поперечного перерізу. Це значить, що в поперечному перерізі бруса виникають нормальні напруги, що змінюються по висоті перерізу.

Потрібно сказати, що в даному випадку нейтральний шар знаходиться посередині висоти перерізу тому, що балка має дві осі симметрії. Якщо форма перерізу інша, нейтральний щар може лежати вище або нижче середини перерізу. Досліди показують, що нейтральний шар в балках, що знаходяться під дією чистого прямого згину, розміщений в площині, яка проходить через центр ваги перерізу. В подальшому такий висновок ми отримаємо і теоретичним шляхом.

Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу балки називається нейтральною віссю (рис. 73, в). Вона, як і нейтральний шар, проходить через центр ваги перерізу і перепендику­лярна до площини симетрії балки, тобто до площини дії сил.

Перейдемо до визначеня нормальних напруг в поперечних перерізах балки при чистому згині.

Двома поперечинми перерізами виріжемо з балки елемент дов­жи­ною dz (рис. 71) та зобразимо його в більшому масштабі (рис. 74). Після згину торці балки нахиляться один до одного, утворивши кут d . Позначимо радіус кривизни зігнутої осі балки , а довжину одного із поздовжніх волокон, що лежать в нейтральному шарові, – mn.

Рис. 74

Так як ці волокна не змінюють своєї довжини при згині, можна написати:

Будь-яке інше волокно вище або нижче нейтрального шару змінить свою довжину. Розглянемо волокно m₁n₁, що лежить в розтягнутій зоні на відстані у від нейтрального шару і, звичайно, видовжується при згині. Для визначення величини видовження його проведемо через точку n лінію, паралельну mn₁, до перетину з волокном m₁n₁ в точці n₂. Тоді можна вважати, що m₁n₂mn₁, а відрізок n₁n₂ будемо приймати як абсолютне видовження волокна т₁п₂,або тп. Відрізок п₁п₂ наближено можна прийняти за дугу круга радіуса у, тоді абсолютне видовження

,

а відносне видовження того ж волокна m₁n₂ буде

,

або остаточно

,

тобто, відносне видовження волокна прямо пропорційно відстані його від нейтрального шару.

За законом Гука, , підставивши сюди вираз відносного видовження довільного волокна балки, отримаємо величину напруги в ньому:

,

тобто нормальні напруги змінюються прямо пропорційно відстані від нейтральної осі балки, а в точках, що знаходяться на цій осі, вони дорівнюють нулю.

Отримавши закон розподілення нормальних напруг по висоті поперечного перерізу балки при чистому згині, перейдемо до визначення їх величини залежно від величини згинального моменту. Для цього виділимо на поперечному перерізі (рис. 75, а, б) довільну елементарну площадку dA на відстані у від нейтральної осі. Величина елементарної сили, що виникає на площадці dA, буде

,

Ці елементарні сили будуть нормальні до поперечного перерізу, тобто паралельні осі балки.

Рис. 75

Із умови рівноваги лівої відсіченої частини сума проекцій всіх елементарних сил на вісь z буде виражена інтегралом, розповсюдженим на всю площу перерізу А, тобто

Величина модуля пружності E не дорівнює нулю, а радіус кривизни – величина кінцева, тобто і , значить

Цей інтеграл – це статичний момент площі перерізу відносно нейтральної осі. Звідси виходить, що нейтральна вісь проходить через центр ваги поперечного перерізу, тому що тільки в цьому випадку статичний момент дорівнює нулю.

Елементарна нормальна сила дорівнює , а її момент відносно нейтральної осі . Щоб визначити повний момент, необхідно додати елементарні моменти, що діють по всій площі поперечного перерізу балки, тобто

,

або замінивши на , маємо

.

В отриманому виразі інтеграл є осьовим моментом інерції перерізу відносно нейтральної осі, тобто

,

тоді

,

або

, (81)

де – кривизна зігнутої осі балки; добуток EI_x називається жорсткістю перерізу балки при згині. Вона характеризує ступінь опору балки викривленню осі при згині.

Отримана рівність (81) читається так: кривизна зігнутої осі балки прямо пропорційна згинальному моменту і обернено пропорційна жорсткості перерізу балки.

Підставивши вираз (81) в формулу , отримаємо

;

остаточно

(82)

Отримана формула справедлива для будь-якої форми поперечного перерізу, але за умови, що переріз має вісь симетрії, в площині якої діють пари сил, що згинають балку.

Формула (82) є рівнянням прямої, тобто нормальні напруги по висоті перерізу змінюються за законом прямої лінії. Найбільші напруги будуть в найбільш віддалених від нейтральної осі волокнах:

(82)

Якщо переріз балки несиметричний відносно нейтральної осі, наприклад, тавровий переріз (рис. 76), то напруга в крайніх волокнах визначається за формулами:

Рис. 76

(83)

(83)

Вираз (82) можна записати так:

.

Величина називається осьовим моментом опору перерізу і є геометричною характеристикою поперечного перерізу балки, що визначає її міцність при згині.

Тоді остаточно

. (84)

Момент опору вимірюється в м³, см³.

Формула (84) виведена для випадку чистого згину, при якому поперечні перерізи балки залишаються плоскими і після деформації. У випадку поперечного згину перерізи зазнають зсуву і викривляються. Але викривлення перерізів і надавлювання волокон одне на одне настільки незначні, що не змінюють установленого закону розподілу деформацій волокон. Тому формула (84) може застосовуватись і для випадку плоского поперечного згину балки.

Виведемо формули моментів опору для елементарних перерізів.

Прямокутник зі сторонами b i h (рис. 51):

(85)

(85)

Квадрат зі стороною а:

(85)

Круг (рис. 52)

(86)

Кругове кільце (рис. 53)

. (87)

Якщо задамося відношенням діаметрів або , то отримаємо:

; (87)

.

Як видно із доведення формули (87), при визначенні момента опору кругового кільця не можна підраховувати його величину як різницю моментів опору великого та малого кругів.

Крім того, треба мати на увазі, що на відміну від моментів інерції моменти опору не можна піраховувати як суму моментів опору окремих частин перерізу.

На практиці часто приходиться через відсутність балок потрібного поперечного перерізу замінювати їх двома складеними перерізами. В цьому випадку потрібно добитися того, щоб складена балка за міцністю не поступалася суцільній балці, не спричиняючи збільшення витрати матеріалу.