§9. Деформації при осьовому розтязі та стискові. Закон гука. Модуль поздовжньої пружності

Ми знаємо, що при розтязі довжина бруса збільшується, а його поперечні розміри зменшуються. При стискові відбувається проти­лежне явище – довжина бруса зменшується, а поперечні розміри збільшуються.

Рис. 10

Збільшення або зменшення довжини бруса в результаті розтягу або стиску називається абсолютною деформацією та позначається Δl і вимірюється в одиницях довжини (м) (рис. 10).

Величина абсолютного видовження або укорочування, що залежить від довжини бруса, не дає загальної уяви про значність поздовжньої деформації. Тому за характеристику деформацій розтягу або стиску приймається величина відносної деформації.

Відносним видовженням або укорочуванням називається відношення величини абсолютного видовження або укорочування до початкової довжини бруса:

= (4)

Величина , отримана в результаті ділення двох величин, що мають розмірність довжини, є абстрактним числом. Її можна виразити також у відсотках :

%= 100100%.

Ми вияснили, що вільний кінець бруса в результаті розтягу або стиску отримує якесь переміщення Δl (рис.10). Тобто кожний поперечний переріз теж переміщується на якусь величину. Для подальшого вивчення теорії опору матеріалів та розв'язку практичних задач важливо встановити взаємний зв’язок між лінійними переміщеннями та силами, що їх викликають (навантаженнями).

Досліди над розтягом та стиском брусів, виготовлених із різних матеріалів, показують, що поки навантаження на брус не досягло відомої границі, видовження його зростає прямо пропорційно величині навантаження та довжині бруса і обернено пропорційно площі поперечного перерізу. Крім того, встановлено, що величина видовження (укорочування) бруса залежить від пружних властивостей матеріалу, з якого він виготовлений. Перелічені залежності виражаються формулою

(5)

де Е – модуль поздовжньої пружності, що характеризує ступінь опору матеріалу пружній деформації. Чим більше Е, тим менше пружна деформація, і навпаки. Добуток модуля поздовжньої пружності на площу поперечного перерізу ЕА називається жорсткістю перерізу бруса при розтязі (стискові).

Формула (5) – експериментальний вираз закону Гука і читається так:

абсолютне видовження (укорочування) прямо пропорційне величині навантаження та довжині бруса і обернено пропорційне модулю поздовжньої пружності та площі поперечного перерізу.

Тобто, чим більша розтягуюча або стискуюча сила та довжина бруса, тим більше його абсолютне видовження або укорочування. Але чим більша жорсткість перерізу, тим менше його абсолютне видовження або укорочування.

Якщо між двома перерізами брус має ступінчасту зміну поперечних перерізів або завантажений декількома зовнішніми поздовжніми зосередженими силами, то досліджувана ділянка ділиться на декілька, в межах яких постійні як внутрішня поздовжня сила, так і площа поперечного перерізу.

Переміщення визначається як алгебраїчна сума видовжень кожної окремої ділянки:

Результати розрахунку зображують у вигляді епюри поздовжніх переміщень перерізів бруса (приклад 4).

Зробимо деякі математичні перетворення. Розділивши обидві частини формули (5) на довжину бруса L, маємо

або

= (5')

беручи до уваги, що = та підставляючи в формулу (5'), отримаємо інший, математичний, вираз закону Гука

=E, (6)

тобто, нормальна напруга прямо пропорційна відносній повздовжній деформації.

Із формули (6) маємо

(6')

тобто модуль поздовжньої пружності – це відношення нормаль­ної напруги до відповідної їй відносного видовження (укорочування).

Наведемо значення модуля поздовжньої пружності для деяких матеріалів:

Таблиця 1

Найменування матерілів	Модуль пружності E МПа
Сталь	2·105-2,2·105
Мідь	1·105
Алюміній	0,675·105
Алюмінієві сплави	0,71·105
Чавун	0,75·105-1,6·105
Дерево вздовж волокон	1·104
Дерево поперек волокон	5·102
Бетон	1·104-3·104
Кам’яна кладка: з граніту	9·103
з вапняку	6·103
з цегли	3·103
Склопластики	0,18·105-0,4·105

Так як в формулі (6) величина  – абстрактне число, то вимірність модуля поздовжньої пружності буде такою, як і напруга, тобто Е вимірюється в Н/м² або МН/м² (МПа). Величина модуля поздовжньої пружності визначається дослідним шляхом. Закон Гука можна виразити також графічно. Для цього по осі х відкладемо в деякому масштабі величину відносної деформації , а по осі y – відповідну їй напругу  (рис.11).

Тоді

tg= , але згідно з формулою (6)

Е= маємо,

tg=E, тобто

тангенс кута нахилу прямої ОА до горизонту математично може бути представлений як модуль поздовжньої пружності.

Рис. 11

Як видно з рис.11, чим більше кут , тим більше модуль пружності Е. Таким чином пряма пропорційність між напругою та відносною деформацією  зображається прямою лінією ОА, що графічно виражає закон Гука при лінійній деформації.

Але лінійна залежність між  та Е зберігається тільки до деякого граничного значення напруги, що відповідає ординаті КА, яка називається границею пропорційності _пц. Звідси робимо висновок, що закон Гука справедливий тільки до границі пропорційності.

Приклад 2. Визначити абсолютне та відносне видовження стержня стальної ферми із рівностороннього кута № 40×3 довжиною 3м., що розтягується силою F=40 kH. Границя пропорційності для сталі _пц200 МПа. Модуль поздовжньої пружності Е=210⁵ МПа. Вагу стержня не враховувати.

Розв'язок: Спочатку з'ясуємо, чи можна застосовувати формулу (5) до даної умови задачі, тобто чи не перевищує дійсна напруга в поперечному перерізі стержня границі пропорційності матеріалу. Площу перерізу стержня беремо із таблиці сортаменту сталі.

А=2,35см²

Напруга в поперечному перерізі стержня

= =17,02 =170,2 MПa<_пц=200 MПa,

дійсна напруга не перевищує границі пропорційності. Тобто даний приклад можна розв'язувати за допомогою формули (5).

Визначаємо абсолютне видовження стержня:

де F=40 кH

l=3м=300 cм, A= 2,35 cм

E=210⁵ MПa=210⁴ kH/cм²

Величина відносного видовження

= 0,00085 або у відсотках

 = 0,00085100% = 0,085%,

тобто видовження бруса під дією заданого навантаження складає 0,085% його початкової довжини.

Приклад 3. Визначити нормальну напругу в поперечному перерізі розтягнутого стального стержня довжиною 4 м, якщо його абсолютне видовження Δl = 2мм, E=210⁵ MПa.

Розв'язок. Так як нам не відомі ні навантаження, ні площа перерізу стержня, то величину нормальної напруги визначаємо за формулою (6), для цього спочатку визначимо відносне видовження стержня

= 0,0005, де Δl = 2мм = 0,2 см, м= 400 см

Тоді величина нормальної напруги

=Е=210⁵0,0005=100 МПа=10 кН/см²

Приклад 4. Для ступінчастого бруса (рис. 12, а) побудувати епюру переміщень.

Розв’язок. Для цього бруса (рис. 9, д, е) вже були обчислені поздовжні сили та побудовані епюри N і , тому перейдемо безпосередньо до побудови епюри поздовжніх переміщень.

В даному випадку ступінчастий брус має три ділянки в межах яких побудовані N і .

Так як нижній кінець бруса має жорстку опору і не має переміщень, то відносно нього і будемо визначати переміщення всіх перерізів бруса.

Спочатку розглянемо третю ділянку довжиною l₃. В довільному перерізі ІIІ-ІІІ його переміщення від стиску нижньої частини дорівнює:

.

Із цього виразу видно, що закон зміни переміщень вздовж третьої ділянки буде лінійним. При Z=0 l₃=0; при Z=l₃, м. Ділянка ІІІ стиснута. Переміщення точки В дорівнює l₃.

Ділянка 2. Переміщення довільного перерізу ІІ-ІІ довжиною Z дорівнює:

.

Закон зміни переміщень теж лінійний. При Z=0 l₂=0; при Z=l₂ .

Але переміщення точки С дорівнює сумі переміщень третьої та другої ділянок:

.

Ділянка 1. Переміщення довільного перерізу І-І довжиною Z дорівнює

.

Закон зміни переміщень – лінійний. При Z=0 l₁=0, при Z=l₁ .

Переміщення точки Д, тобто вільного кінця бруса, дорівнює сумі переміщень всіх ділянок:

.

За отриманими даними будуємо епюру поздовжніх переміщень бруса (рис. 12, д).

Рис. 12