Глава 13. Волновая и лучевая природа законов отражения и преломления света

1. Законы отражения и преломления света как следствие суперпозиции электромагнитных волн на границе раздела двух диэлектриков

Направим электромагнитную волну с волновым вектором вдоль радиуса вектора трёхмерной декартовой системы коорди­нат (рис. 13.1). Ориентация векторов и определяется уг­лами между векторами и ортами совмещенными с осями системы координат. Взаимосвязь между век­торами и их проекциями имеет вид :

(13.1)

. (13.2)

Электрическая компонента волны, распространяющейся вдоль имеет вид:

. (13.3)

Согласно правилу скалярного произведения векторов, и формул (13.1), (13.2), величина

(13.4)

Учитывая, что и подставляя (13.4) в (13.3), получим

. (13.5)

где - фазовая скорость монохроматической волны.

Потребуем, чтобы плоскость в которой распространяется све-­ товой луч, совпадала с плоскостью (рис 13.1). В этом случае и согласно (13.5),

Рисунок 13.1

Рисунок 13.2

Рисунок 13.3

Рисунок 13.4

. (13.6)

Пусть волна падает на границу раздела двух сред, которая совпадает с плоскостью .Ниже плоскости абсолют­ ный показатель преломления равен , а выше плоскости , показатель преломления равен , а

Для падающей волны на границе раздела (рис. 13.2), и уравнение (13.6) снова упрощается

. (13.7)

Отраженной от границы раздела волне соответствует уравнение

, (13.8)

поскольку , как и для падающей волны, рис. 13.3.

Преломляемой во вторую среду волне соответствует уравнение

, (13.9)

и рисунок 13.4.

На границе раздела тангенциальная составляющая электричес­кой компоненты поля над плоскостью должна быть равна аналогичной компоненте под плоскостью :

. (13.10)

Из (13.7), (13.8), (13.9) и (13.10) следует:

. (13.11).

Равенство (13.11) выполняется при выполнении следующих двух условий:

1) ,

2) . (13.12)

Из первого условия следует, что частоты отраженной ( ) и преломленной ( ) волн не отличаются от частоты волны ( ), падающей на границу раздела. Из второго условия выте­кают следующие важные следствия:

1)

т.е. отраженная и преломленная волна лежит в плоскости , в одной плоскости с падающей волной.

В результате равенство (13.12) упрощается:

. (13.13)

2) Согласно (13.13), , , (рис. 13.4), т.е. угол падения равен углу отражения.

3) Поскольку должно выполняться условие то

(13.14)

Из рис. 13.4 следует, что

(13.15)

(13.16)

Подставляя (13.15) и (13.16) получаем закон преломления света из (13.14):

(13.17)

Полученные результаты позволяют сформулировать два фундаментальных закона лучевой оптики:

ЗАКОН ОТРАЖЕНИЯ СВЕТА

При падении монохроматической волны на границу раз­дела двух сред с различными абсолютными показателями преломления луч падающий и луч отражённый лежат в одной плоскости с нормалью к границе раздела двух сред. Угол отражения равен углу падения и не зависит от соотношения между и . Частота отражённой волны равна частоте падающей волны.

ЗАКОН ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА

При падении монохроматической волны на границу раздела двух сред с абсолютными показателями преломления и , из первой среды во вторую, луч падаю­щий и луч преломленный лежат в одной плоскости с нормалью к границе раздела двух сред. Угол падения и угол преломления связаны между собой соотношением:

Частота преломленной волны не отличается от частоты падающей волны.