17.3. Телесный угол, световой поток и механический эквивалент света

Рассмотрим точечный источник света , испускающий свет равномерно во всё трёхмерное пространство (рис.17.2). Выберем в указанном пространстве световой конус с углом в его вершине, совпадающей с источником света . Пересечем световой конус сферической поверхностью радиуса . Как видно из рис. 17.2, конус «вырезает» на сферической поверхности площадку площади . Рассмотренный световой конус принято характеризовать величиной телесного угла , которая определяется как

, (17.2)

и измеряется в СТЕРАДИАНАХ (ср). Очевидно, что телесному углу в 1 ср соответствует условие . "Полному" телесному углу, при котором точечный источник излучает свет в сферу радиуса соответствует величина и величина

(17.3)

Рисунок 17.2

Рисунок 17.3

Рисунок 17.4

Рисунок 17.5

Найдем взаимосвязь величины телесного угла с его ориентацией в пространстве.

Наряду с декартовой системой координат для опи­сания пространства часто используется сферическая система , где координата точки " " задаётся с помощью линейного отрезка , расположенного под углом к оси и угла между осью и проекцией отрезка на плоскость (рис. 17.3).

Элементарный объем в декартовой системе координат

. (17.4)

Найдем величину элементарного объема в сферической системе координат , рис. 17.5:

Согласно рис. 17.5 , координата точки “ ” задана через параметры . Увеличим угол на . Очевидно, что

(17.5)

где - малый угол, измеряемый в радиа­нах;

Рисунок 17.6

Рисунок 17.7

,

(17.6)

Площадь фигуры и согласно (17.5) и (17.6) , определяется выражением:

. (17.7)

Увеличим на (рис. 17.6).

Согласно рис. 17.6, величина элементарного объема в сферической системе координат

(17.8)

и является его эквивалентом в декартовой системе, формула (17.4).

Внесём конус с углом при вершине в систему , совмещенную со сферической системой координат , распо­ложив вершину конуса в центре системы координат, рис. 17.7.

Пересечем конус двумя сферическими поверхностями радиусов и . Элементарный объем пространства между ними

, (17.9)

где - площадь сферического сегмента в сечении . По­лагая достаточно малым, мы аппроксимируем фигуру . прямым круговым цилиндром, где - его высота, - пло­щадь основания. Потребуем, чтобы оба объёма, определяемые формулами (17.8) и (17.9) имели одинаковую величину:

, (17.10)

откуда:

, (17.11)

согласно (17.2) и (17.11):

, (17.12)

Рисунок 17.8

Переходя к бесконечно малым величинам, получаем взаимосвязь величины телесного угла с его параметрами и ориентацией в пространстве:

, (17.13)

Пусть монохроматическое излучение с длиной волны = 555 нм переносит через пло­щадку (рис. 17.2) за 1с энергию 0,0016 Дж. Полагают, что в данном случае внутри телесного угла распространяется световой поток , равный 1 люмену (лм).

Указанное соотношение является международным стандартом для 1 люмена.

Таким образом,

0,0016 = 0,0016 Вт ~ 1лм, (17.14)

при = 555 нм.

Пропорциональность (17.14) является не только определением 1 люмена, но и единственным связующим звеном между фотометрическими и энергетическими характеристиками оптического излучения.

Величину

принято называть механическим эквивалентом света . При = 1 лм, величина численно равна

. (17.15)

Относительная функция видности (17.1), (рис. 17.1, табл. 17.1) и (17.15) позволяют рассчитать необходимую мощность излучения , соответствующую световому потоку в 1 лм для любой длины волны из диапазона

.

по формуле:

, Вт (17.16)

Например, пользуясь таблицей 17.1, находим, что световому потоку в 1 лм, при длине волны = 633 нм, соответствует значение: = 0,25.

Согласно (17.6), для обеспечения такого светового потока необхо­дима мощность

,

Пусть гелий-неоновый лазер обладает мощностью излучения = 5· Вт. Очевидно, что световой поток, соответствующий ему, определится из следующих зависимостей:

~ 1 лм,

~ Ф лм,

которым соответствует пропорция:

откуда Ф = 0,78 лм.