10.10. Дифракционная решетка как спектральный прибор [8, с. 412]

1) Дифракционную решетку можно использовать для анализа НЕМОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ.

Если две волны с длинами и падают на решетку нормально, согласно (10.41), они дифрагируют под разными углами. Т.е. дифракционная решётка разлагает немонохроматическое излучение в спектр, в котором линии с длинами волн и наблюдаются РАЗДЕЛЬНО:

, (10.67)

. (10.68)

2) СУТЬ КРИТЕРИЯ РЭЛЕЯ.

Согласно (10.67) и (10.68), при малом отличии от , в фор­мулах (10.67) и (10.68) мало различаются и и максимумы начинают накладываться один на другой. В качестве способа различимости максимумов, в спектроскопии принят УСЛОВНЫЙ критерий, предложен­ный РЭЛЕЕМ:

Два соседних максимума с длинами волн и принято считать различимыми (разрешимыми) (рис. 10.36) если максимум спектральной линии длины волны располагается над минимумом линии с длиной . Аналогично, положению максимума линии (относительно оси , рис. 10.36) соответствует минимум линии . Величину называют РАЗНОСТЬЮ ДЛИН ВОЛН, ПОДЧИ­НЯЮЩИХСЯ КРИТЕРИЮ РЭЛЕЯ.

Рисунок 10.36

Рисунок 10.37

Анализ зависимости , формула 10.44 показывает, что в случае рэлеевского перекрытия максимумов с одинаковыми интенсивностями , между максимумами образуется "провал" на уровне 0,8 от оси ( ), (рис. 10.36). При , максимумы более различимы, чем в случае критерия Рэлея (рис. 10.37). При критерий Рэлея не выполняется и максимумы СЧИТАЮТСЯ неразличимыми (рис. 10.38).

Рисунок 10.38

3) РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ.

Отношение длины волны к разнице длин волн , подчиняющихся критерию Рэлея, называется РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТЬЮ РЕШЁТКИ:

. (10.69)

Найдем взаимосвязь разрешающей способности с рабочим чис­лом щелей и порядком дифракционного максимума . Сог­ласно формуле (10.51), условие произвольного добавочного ми­нимума определяется выражением

.

Добавочный минимум, примыкающий к центральному максимуму порядка , (рис. 10.28), является первым ( ) и для него

.

Представим последнюю формулу в следующем виде:

, (10.70)

подчеркнув этим, что первый добавочный минимум примыкает к мак­симуму нулевого порядка. Согласно рис. 10.28, 10.36 добавочный минимум, примыкающий к максимуму порядка является для этого максиму­ма "первым". Поэтому, по аналогии с формулой (10.70) для этого доба­вочного минимума:

, (10.71)

Рассматриваемый добавочный минимум является ничем иным, как краем максимума с длиной волны . Согласно критерия Рэлея, над ним располагается пик максимума с длиной волны для которого (рис. 10.36):

. (10.72)

Из (10.72) и (10.72):

,

,

. (10.73)

Таким образом, разрешающая способность дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра и числу рабочих щелей .

Идекс "А" у отбрасываем, как не имеющий принци­пиального значения.

4) УГЛОВАЯ И ЛИНЕЙНАЯ ДИСПЕРСИЯ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ.

Из вышеприведенных рассуждений следует, что две длины волны в спектре порядка , имеющие длины и дифрагируют на решетке Ρ под углами и , создавая максимумы,

, (10.74)

и

,

в точках и экрана , рис. 10.39

Рисунок 10.39

Введём величину, определяемую как

. (10.75)

Величина носит название угловой дисперсии решетки.

Найдем взаимосвязь с порядком дифракции , постоянной решётки d и углом дифракции .

Продифференцируем (10.74) по :

,

откуда

.

По своему физическому смыслу

,

поэтому

. (10.76)

Величина , называется линейной дисперсией дифракционной решетки.

Здесь - линейное расстояние между максимумами на экране, в спектре одного порядка, отличающимся на . Поскольку угол мал, согласно рис. 10.39

.

Для спектров низких порядков оказывается малым и угол . Поэтому расстояние от решётки Р до экрана (Э)

.

Следовательно,

. (10.78)

Разделив (10.78) на , получаем взаимосвязь линейной дисперсии с угловой

, . (10.79)

5) ОБЛАСТЬ СВОБОДНОЙ ДИСПЕРСИИ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ.

Направим ортогонально плоскости решетки оптическое излуче­ние с набором длин волн видимого диапазона от красного 700 нм до фиолетового 400 нм. Согласно (10.47), чередова­ние цветов в спектрах двух соседних порядков, будет иметь вид показанный на рис. 10.40, где индекс (К) соответствует красному цвету, а индекс (Ф) - фиолетовому.

Рисунок 10.40

Согласно условия главных дифракционных максимумов, для правого края (П) спектра порядка

, (10.80)

Для левого края (Л) спектра порядка

. (10.81)

Расширим спектральный состав излучения за счет увеличения длины волны в сторону инфракрасного диапазона и за счет уменьше­ния - в сторону ультрафиолетового диапазона. Очевидно, что в этом случае левые границы (Л) обоих спектров сместятся влево, а правые (П) - вправо. При некоторых значениях

и (10.82)

внутренние границы спектров и приблизятся одна к другой. Остановив дальнейшее перекрытие спектров условием критерия Рэлея, согласно (10.80 - 10.82), имеем:

,

,

.

Обозначив

и опуская индекс "Ф" у , как частный, получим

. (10.83)

Величина носит название области свободной дис­персии дифракционной решетки. Это МАКСИМАЛЬНЫЙ ин­тервал длин волн в спектре порядка ( ), при кото­ром не происходит перекрытия спектра ( ) со спектром ( ). Величина имеет смысл МИНИМАЛЬ­НОЙ длины волны в спектрах порядка ( ) и ( ).

Рассмотренные в 10.10 характеристики дифракционной решетки: разрешающая способность, угловая дисперсия, линейная дисперсия, область свободной дисперсии являются типичными и для других спектральных приборов. К ним относятся монохроматоры, спектроскопы, спектрофотометры, гониометры-спектрометры, интерферометры и другая оптическая измерительная аппаратура высокой точности.

В заключении этого раздела заметим, что релеевский интервал - не более чем условное, общепринятое в технике спектроскопии понятие, применимое к двум соседним длинам волн любого спектра. Область свободной дисперсии - характе­ристика спектрального прибора, зависящая к тому же от порядка исследуемого спектра и длины волны .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К главе 10

1. Чем отличается дифрагированный свет от недифрагированного?

2. Какое из двух понятий Вы считаете более правильным: "интерференционный спектр дифрагированных волн" или "дифракционный спектр"?

3. Чем отличается дифракция Френеля от дифракции Фраунгофера?

4. С какой целью в оптику введен метод зон Френеля?

5. Чем различаются параметры в формулах разрешающей способности решётки и области её свободной дисперсии?

6. От каких параметров зависит порядок максимума наибольшей концентрации энергии, для отражательной решетки, при малых уг­лах падения света на её поверхность?

7. Сделайте вывод формул: (10.11), (10.13), (10.15), (10.16), (10.20), (10.21), (10.37), (10.38), (10.41), (10.47), (10.48), (10.51), (10.55), (10.61), (10.66), (10.73), (10.76), (10.79), (10.83).