2.11.2. Двумерная функция распределения

Определение 2.25. Функцией распределения двумерной случайной величины называется функция , равная вероятности совместного выполнения двух событий и :

, . (2.51)

Функция распределения дискретной двумерной случайной величины находится по формуле

. (2.52)

Основные свойства функции распределения двумерной случайной величины

1. для любых ;

2. при ; при , т.е. – неубывающая функция по каждому из аргументов;

3. ,

где ;

4. ;

5. Пусть и – интегральные функции распределения случайных величин X и Y, соответственно. Тогда

(2.53)

6. .

Пример 2.24. Для двумерной случайной величины из примера 2.23 найти функцию распределения , а также вычислить функции распределения случайных величин X и Y.

Решение. Используя формулу (2.51) или (2.52), находим :

	0	0	0	0
	0	0,15	0,15+0,4=0,55	0,15+0,4+ +0,05=0,6
	0	0,15+0,2=0,35	0,15+0,4+0,2+ +0,1=0,85	1

Используя формулу (2.53), находим функции распределения и случайных величин X и Y:

Для нахождения функций распределения и можно использовать законы распределения для величин X и Y, найденные в примере 2.23, и формулу (2.10).

2.11.3. Двумерная плотность распределения

Определение 2.26. Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная функция, дифференцируемая по каждому аргументу, у которой существует вторая смешанная производная .

Определение 2.27. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины или совместная плотность распределения вероятностей определяется по формуле .

Основные свойства плотности распределения двумерной случайной величины

1. для любых ;

2. Вероятность попадания случайной величины в произвольную область равна

. (2.54)

3. Функция распределения двумерной случайной величины может быть выражена через ее плотность по формуле

. (2.55)

4. Условие нормировки:

. (2.56)

5. Функции распределения одномерных составляющих X и Y вычисляются по формулам

, . (2.57)

6. Плотности распределения одномерных составляющих X и Y вычисляются по формулам

(2.58)

Пример 2.25. Система случайных величин имеет плотность распределения вероятностей . Найти: а) значение А; б) функцию распределения ; в) вероятность попадания случайной величины в область ; г) функции распределения и ; д) плотности распределения и .

Решение. а) Для нахождения постоянной А используем условие (2.56):

.

С другой стороны,

Отсюда .

б) Используя формулу (2.55), получаем

в) Применяя формулу (2.54), получаем

г) Используя формулу (2.57), получаем

Аналогично,

д) Применим формулу (2.58):

.

Аналогично, .