Вариант 8

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

Y	– 2	0	2
P	0,3	0,2	0,5

X	– 3	–1	1
P	0,4	0,3	0,3

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Ключи выбираются наудачу, причём испробованный ключ в последующих опробова­ниях не участвует. Найти ряд распределения случайной величины X, равной количеству проб, потребующихся для открывания замка, и вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

3. В лаборатории 6 станков. Вероятность включения каждого станка в данный момент равна 0,4. Составить ряд распределения для числа включённых станков в данный момент и вычислить его математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

4. Для случайной величины X, имеющей распределение Пуассона, вероятность события равна 0,4. Составить закон распределения величины X и вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и вероятность события .

5. Задана интегральная функция распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти плотность распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и медиану; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом движения 5 мин. Составить закон распределения величины X – времени ожидания пассажиром автобуса и найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

7. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от номинала по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная ошибка распределена нормально со средним квадратическим отклонением мм, найти среднее количество годных шариков среди 100 изготовленных.

8. В урне находятся 2 белых, 3 черных и 2 синих шара. Из урны наугад извлекают 2 шара. Пусть случайная величина X – число белых шаров, величина Y – число черных шаров среди извлеченных. Составить: а) закон распределения для системы ; б) законы распределения случайных величин X и Y; в) найти ковариацию и коэффициент корреляции величин X и Y. Являются ли величины X и Y зависимыми?

Вариант 9

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

Y	1	2	3
P	0,4	0,2	0,4

X	– 1	0	1
P	0,1	0,5	0,4

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Случайная величина X принимает три значения 1, 2 и 3. Найти вероятности этих значений, если и .

3. Вероятность появления некоторого события равна 0,4. Составить ряд распределения числа появлений этого события при 5 независимых испытаниях. Найти его математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

4. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взяты 2 детали. Найти ряд распределения случайной величины – количества стандартных деталей в выборке. Построить многоугольник распределения. Найти интегральную функцию и построить её график. Вычислить .

5. Задана плотность распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти функцию распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и моду; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Считая, что ошибки измерения распределены равномерно, найти вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка меньше, чем 0,04.

7. Размер диаметра втулок, изготовляемых цехом, можно считать нормально распределённой случайной величиной с математическим ожиданием и дисперсией . В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки?

8. Двумерная случайная величина задана плотностью распределения , которая равна при , , и в остальных точках. Найти а) величину параметра ; б) функцию распределения ; в) плотность распределения каждой компоненты; г) вероятность . Являются ли величины X и Y зависимыми?